Question

如图所示，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，交AB于E，交AC于D，连接BD．
（1）若∠ABC=∠C，∠A=50°，求∠DBC的度数；
（2）若AB=12，且△BCD的周长为18，求△ABC的周长．

Answer 1

解：（1）∵∠ABC=∠C，∠A=50°，
∴∠ABC=（180°-50°）=65°，
∵DE是边AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=50°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=65°-50°=15°；

（2）由（1）得AD=BD，
∴△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=18，
∵AB=12，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=12+18=30．
分析：（1）先根据三角形的内角和定理求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，再根据等边对等角的性质可得∠ABD=∠A，然后根据∠DBC=∠ABC-∠ABD计算即可得解；
（2）把△BCD的周长转化为AC+BC，再根据三角形的周长定义解答即可．
点评：本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握性质求出AD=BD是解题的关键．