Question

已知直线l₁∥l₂，且 l₃、l₄和l₁、l₂分别交于A、B、C、D四点，点P在直线AB上运动．设∠ADP=∠1，∠DPC=∠2，∠BCP=∠3．
（1）如果点P在A、B两点之间时（如图），探究∠1、∠2、∠3之间的数量关系．（要求说明理由）；
（2）此时，若∠1=30°，∠3=40°，求∠2的度数；
（3）如果点P在A、B两点外侧时，猜想∠1、∠2、∠3之间的数量关系（点P和A、B不重合）（直接写出结论）．

Answer 1

分析：（1）∠1、∠2、∠3之间的数量关系为∠2=∠1+∠3，理由为：过P作PM平行于l₁，由l₁∥l₂，利用平行于同一条直线的两直线平行，得到PM平行于l₂，由PM平行于l₁，利用两直线平行内错角相等得到∠1=∠DPM，由PM平行于l₂，利用两直线平行内错角相等得到∠3=∠CPM，而∠2=∠DPM+∠CPM，等量代换可得证；
（2）将∠1和∠3的度数代入第一问的结论∠2=∠1+∠3中，即可求出∠2的度数；
（3）∠1、∠2、∠3之间的数量关系为∠3=∠1+∠2，理由为：由l₁∥l₂，利用两直线平行同位角相等得到∠3=∠4，又∠4为三角形PDQ的外角，利用三角形的外角性质得到∠4=∠1+∠2，等量代换可得证．

解答：解：（1）∠2=∠1+∠3，理由为：
证明：过P作PM∥l₁，如图所示：

由l₁∥l₂，得到PM∥l₂，
∴∠1=∠DPM，∠3=∠CPM，
∴∠2=∠DPM+∠CPM=∠1+∠3；
（2）∵∠1=30°，∠3=40°，
∴∠2=∠1+∠3=70°；
（3）∠3=∠1+∠2，理由为：

证明：∵l₁∥l₂，
∴∠3=∠4，
又∠4为△PDQ的外角，
∴∠4=∠1+∠2，
则∠3=∠1+∠2．

点评：此题考查了平行线的判定与性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．