Question

（1）比较下列两个算式的结果的大小（在横线上选填“＞”“=”或“＜”）
①3²+4²

＞

2×3×4；      
②(

1

3

)2+(

1

4

)2

＞

2×

1

3

×

1

4

；
③（-2）²+（-3）²

＞

2×（-2）×（-3）；
④(-

1

3

)2+(-

1

5

)2

＞

2×(-

1

3

)×(-

1

5

)
⑤（-4）²+（-4）²

=

2×（-4）×（-4）…
（2）观察并归纳（1）中的规律，用含a，b的一个关系式把你的发现表示出来．
（3）若已知ab=8，且a，b都是正数，试求

1

2

a2+

1

2

b2的最小值．

Answer 1

分析：（1）①②③④⑤分别计算两个算式左右的值即可比较出大小；
（2）根据上式规律得出a²+b²≥2ab；
（3）根据a²+b²≥2ab，得出

1

2

a2+

1

2

b2的最小值为

1

2

×2ab，进而得出即可．

解答：解：（1）①∵3²+4²=25，2×3×4=24，
∴3²+4²＞2×3×4；
②∵（

1

3

）²+（

1

4

）²=

25

144

，2×

1

3

×

1

4

=

24

144

，
∴（

1

3

）²+（

1

4

）²＞2×

1

3

×

1

4

，
③∵（-2）²+（-3）²=4+9=13，2×（-2）×（-3）=12，
∴（-2）²+（-3）²＞2×（-2）×（-3）；
④∵（-

1

3

）²+（-

1

5

）²=

34

225

，2×（-

1

3

）×（-

1

5

）=

30

225

，
∴（-

1

3

）²+（-

1

5

）²＞2×（-

1

3

）×（-

1

5

）；
⑤∵（-4）²+（-4）²=32，2×（-4）×（-4）=32，
∴（-4）²+（-4）²=2×（-4）×（-4）；
故答案为：①＞，②＞，③＞，④＞，⑤=；

（2）观察（1）中的计算可发现规律：a²+b²≥2ab；

（3）∵a²+b²的最小值是2ab，
∴

1

2

a2+

1

2

b2=

1

2

（a²+b²）=

1

2

×2ab=8．

点评：此题主要考查了完全平方公式的应用，根据已知得出一般规律a²+b²≥2ab是解题关键．