Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于点A(-3，0)和点B(1，0)，交y轴于点C．

(1)求这个抛物线的函数表达式．

(2)点D的坐标为(-1，0)，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．

(3)点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)y=-x2-x+2；(2)S的最大值为；(3)存在，点N的坐标为：(，)或(，)或(，)或(，)．

【解析】

(1)抛物线的表达式为：y=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3)=ax2+2ax-3a，即-3a=2，即可求解；

(2)S四边形ADCP=S△APO+S△CPO-S△ODC，即可求解；

(3)分点N在x轴上方、点N在x轴下方两种情况，分别求解．

解：(1)抛物线的表达式为：y=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3)=ax2+2ax-3a，

即-3a=2，解得：a=-，

故抛物线的表达式为：y=-x2-x+2，

则点C(0，2)，函数的对称轴为：x=1；

(2)连接OP，设点P(x，-x2-x+2)，

则S=S四边形ADCP=S△APO+S△CPO-S△ODC=×AO×yP+×OC×|xP|-×CO×OD

=(-x2-x+2)×2×(-x)-=-x2-3x+2，

∵-1＜0，故S有最大值，当x=-时，S的最大值为；

(3)存在，理由：

△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角时，点N的位置如下图所示：

①当点N在x轴上方时，点N的位置为N1、N2，

N1的情况(△M1N1O)：

设点N1的坐标为(x，-x2-x+2)，则M1E=x+1，

过点N1作x轴的垂线交x轴于点F，过点M1作x轴的平行线交N1F于点E，

∵∠FN1O+∠M1N1E=90°，∠M1N1E+∠EM1N1=90°，∴∠EM1N1=∠FN1O，

∠M1N1E=∠N1OF=90°，ON1=M1N1，

∴△M1N1E≌△N1OF(AAS)，∴M1E=N1F，

即：x+1=-x2-x+2，解得：x=(舍去负值)，

则点N1(，)；

N2的情况(△M2N2O)：

同理可得：点N2(，)；

②当点N在x轴下方时，点N的位置为N3、N4，

同理可得：点N3、N4的坐标分别为：(，)、(，)；

综上，点N的坐标为：(，)或(，)或(，)或(，)．