Question

【题目】如图（1），AB=7cm，AC⊥AB，BD⊥AB 垂足分别为 A、B，AC=5cm．点P 在线段 AB 上以 2cm/s 的速度由点 A 向点B 运动，同时，点 Q 在射线 BD 上运动．它们运 动的时间为 t（s）（当点 P 运动结束时，点 Q 运动随之结束）．

（1）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，当 t=1 时，△ACP 与△BPQ 是否全等， 并判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系，请分别说明理由；

（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB” 改为 “∠CAB=∠DBA=60°”，点 Q 的运动速 度为 x cm/s，其他条件不变，当点 P、Q 运动到某处时，有△ACP 与△BPQ 全等，求出相应的 x、t 的值．

Answer 1

【答案】（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ，理由见解析；（2）t=1s，x=2cm/s或t=s，x=cm/s．

【解析】

（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，即可得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°，即可得出结论；
（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．

解：（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ，
理由如下：当t=1时，AP=BQ=2，
则BP=7-2=5，

∴BP=AC，

∵AC⊥AB，BD⊥AB
∴∠A=∠B=90°
在△ACP和△BPQ中，

，
∴△ACP≌△BPQ；

∴∠ACP=∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．
∴∠CPQ=90°，
即PC⊥PQ；
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC=BP，AP=BQ，可得：5=7-2t，2t=xt
解得：x=2，t=1；
②若△ACP≌△BQP，
则AC=BQ，AP=BP，可得：5=xt，2t=7-2t
解得：t=， x=5÷=，

故当t=1s，x=2cm/s或t=s，x=cm/s时，△ACP与△BPQ全等．