Question

如图所示，在矩形ABCD中，AB=12厘米，BC=6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D向点A以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动时间（0≤t≤6）．那么：
（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？

Answer 1

分析：（1）根据题意得出DQ=t，AP=2t，QA=6-t，由于△QAP为等腰直角三角形，则6-t=2t，求出t的值即可；
（2）由于以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC的对应边不能确定，故应分两种情况进行讨论．

解答：解：（1）∵AB=12厘米，BC=6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D向点A以1厘米/秒的速度移动，
∴DQ=t，AP=2t，QA=6-t，
当△QAP为等腰直角三角形即6-t=2t，解得t=2；

（2）两种情况：
当

AQ

AB

=

AP

BC

时，即

6-t

12

=

2t

6

，解得t=1.2（秒）；
当

AQ

BC

=

AP

AB

时，即

6-t

6

=

2t

12

，解得t=3（秒）．
故当经过1.2秒或3秒时，△QAP与△ABC相似．

点评：本题考查的是相似三角形的性质及等腰直角三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．