已知:如图.在△ABC中.∠A=90°.AB=6.AC=8.点P从点A开始沿AC边向点C匀速移动.点Q从点A开始沿AB边向点B.再沿BC边向点C匀速移动．若P.Q两点同时从点A出发.则可同时到达点C．(1)如果P.Q两点同时从点A出发.以原速度按各自的移动路线移动到某一时刻同时停止移动.当点Q移动到BC边上时.求作以tan∠QCA.tan∠QPA为根的一元二� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点P从点A开始沿AC边向点C匀速移动，点Q从点

A开始沿AB边向点B，再沿BC边向点C匀速移动．若P、Q两点同时从点A出发，则可同时到达点C．
（1）如果P、Q两点同时从点A出发，以原速度按各自的移动路线移动到某一时刻同时停止移动，当点Q移动到BC边上（Q不与C重合）时，求作以tan∠QCA、tan∠QPA为根的一元二次方程；
（2）如果P、Q两点同时从点A出发，以原速度按各自的移动路线移动到某一时刻同时停止移动，当S_△PBQ=

时，求PA的长．

在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，
∴BC=10．
∵P、Q两点从点A同时出发，可同时到达点C，
∴

6+10

（1分）
（1）设P点移动的路程为x，Q点移动的路程为2x．
∴CP=8-x，BQ=2x-6，CQ=16-2x．（1分）
作QH⊥AC，垂足为H（如右下图）．
∵∠A=90°，∴QH∥AB，
∴

∴QH=

(8-x)，CH=

(8-x)
∴PH=CH-CP=

（8-x），
∴tan∠QPA=

=2．（1分）
∵tan∠QCA=

，
∴tan∠QPA+tan∠QCA=

，
tan∠QPA•tan∠QCA=

，
∴以tan∠QCA、tan∠QPA为根的一元二次方程为
y²-

=0即4y²-11y+6=0．（1分）

（2）当S_△PBQ=

时，设PA=x，点Q的位置有两种情况：
①当点Q在AB上时（如图），
则AQ=2x，BQ=6-2x．
S_△PBQ=

PA•BQ
=

x(6-2x)
=

，
∴x2-3x+

=0，
∵△=9-

＜0，
∴此方程无实根，故点Q不能在AB上；（2分）

②当点Q在BC边上时（如图），
则QB=2x-6．
作PG⊥BC，垂足为G，
∴△PCG∽△BCA，
∴

，
∴PG=

(8-x)，
∴S_△PBQ=

QB•PG
=

•(2x-6)•

(8-x)
=

．
∴x²-11x+28=0，
解得：x₁=4，x₂=7．
∴S_△PBQ=

时，PA=4或7．（2分）

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