Question

19．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交直线DC于点F．
（1）如图1，当点G在BC边上时，显然$\frac{DC}{DF}$=1，此时$\frac{AD}{AB}$=2．
（2）如图2，当点G在矩形ABCD内部时，①若$\frac{AD}{AB}$=$\sqrt{2}$时，求$\frac{DC}{DF}$的值；②若$\frac{DC}{DF}$=k时，求$\frac{AD}{AB}$的值．
（3）当点G在矩形ABCD外部且$\frac{DC}{DF}$=k，则$\frac{AD}{AB}$的值为$\frac{2\sqrt{k}}{k}$ （请直接写出结论即可）．

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质和平行线的性质计算即可；
（2）①连接EF，证明Rt△EGF≌Rt△EDF，得到FG=DF，AB=DC=a，DF=b，根据勾股定理列出算式，计算即可；
②设DF=x，BC=y，根据勾股定理，列式计算；
（3）与（2）的解答方法相同，即可得到答案．

解答 解：（1）由折叠的性质可知，∠ABE=∠GBE，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠GBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∵E是AD的中点，
∴AD=2AE，
∴$\frac{AD}{AB}$=2，
故答案为：2；
（2）①连接EF，
在矩形ABCD中，∵E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴AE=DE，AE=EG，EF=EF，∠A=∠BGE=∠D=90°，
在Rt△EGF和Rt△EDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EG=ED}\\{EF=EF}\end{array}\right.$，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF，
∴FG=DF，
设AB=DC=a，DF=b，
∵$\frac{AD}{AB}$=$\sqrt{2}$，
∴BC=AD=$\sqrt{2}$a，CF=DC-DF=a-b．
∵BG=AB=a，
∴BF=BG+GF=a+b．
在Rt△BCF中，
∵BC²+CF²=BF²，
∴（$\sqrt{2}$a）²+（a-b）²=（a+b）²，
∴a=2b，
∴$\frac{DC}{DF}$=$\frac{a}{b}$=2，
②解：∵FG=DF．设DF=x，BC=y，
∴GF=x，AD=BC=y．
∵$\frac{DC}{DF}$=k，
∴DC=k•DF，
∴DC=AB=BG=kx．
∵CF=DC-DF=kx-x，
∴CF=（k-1）x，BF=BG+GF=（k+1）x．
在Rt△BCF中，BC²+CF²=BF²，
∴y²+[（k-1）x]²=[（k+1）x]²．
∴y=2x$\sqrt{k}$，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{y}{kx}$=$\frac{2\sqrt{k}}{k}$；
（3）由（2）②的结论可知，
$\frac{AD}{AB}$=$\frac{2\sqrt{k}}{k}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{k}}{k}$．

点评 本题考查的是矩形的性质、全等三角形的判定、勾股定理的应用以及折叠的性质，掌握翻折变换是轴对称变换，变换前后图形互相重合是解题的关键．