【题目】如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,点D,E,N分别是△ABC的AB,AC,BC边上的中点,连接AN,DE交于点M.
(1)观察猜想:的值为 :的值为 ;
(2)探究与证明:将△ADE绕点A按顺时针方向旋转α角(0°<α<360°),且△ADE内部的线段AM随之旋转,如图2所示,连接BD,CE,MN,试探究线段BD与CE和BD与MN之间分别有什么样的数量关系,并证明;
(3)拓展与延伸:△ADE在旋转的过程中,设直线CE与BD相交于点F,当∠CAE=90°时,BF= .
【答案】(1),;(2),,见解析;(3)或.
【解析】
(1)由三角形中位线定理可得AD=BD=3,AE=EC=4,DE∥BC,由勾股定理可求BC=10,由直角三角形的性质可得AN=5,由平行线分线段成比例可得,即可求解;
(2)由旋转的性质可证△ADB∽△AEC,△ABD∽△ANM,由相似三角形的性质可求解;
(3)分当点E在线段AB上和点E在线段BA的延长线上在两种情况讨论,由勾股定理可求BD,CE的长,由相似三角形的性质可求BF的长.
(1)∵AB=6,AC=8,点D,E分别是△ABC的AB,AC边上的中点,∴AD=BD=3,AE=EC=4,DE∥BC,∴.
∵∠BAC=90°,AB=6,AC=8,∴BC10.
∵点N是BC上的中点,∴ANBC=5.
∵DE∥BC,∴,∴.
故答案为:,;
(2),.理由如下:
由图1可得:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,△ADM∽△ABM,∴,.
∵将△ADE绕点A按顺时针方向旋转α角,∴∠DAB=∠CAE=α,且,∴△ADB∽△AEC,∴.
∵∠BAD=∠MAN=α,且,∴△ABD∽△ANM,∴.
(3)如图,当点E在线段AB上时.
∵AB=6,AC=8,AE=4,AD=3,∴CD=11,BD3,CE4.
∵,∴,且∠DAE=∠EAC=90°,∴△AEC∽△ADB,∴∠ABD=∠ACE,且∠ABD+∠BDA=90°,∴∠ACE+∠BDA=90°,∴∠DFC=90°=∠BAC,且∠ACE=∠ACE,∴△ACE∽△FCD,∴,∴DF,∴BF=BD﹣DF.
如图,当点E在线段BA的延长线上.
同理可得:BD=3,BE=10,∠BAC=∠EFB=90°.
∵∠EBF=∠EBF,∠BAD=∠EFB=90°,∴△ADB∽△FEB,∴,∴BF4.
综上所述:当∠CAE=90°时,BF=4或.
故答案为:4或.
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【题目】如图①,在△ABC中,以AB为直径的⊙O交AC于点D,点E在BC上,连接BD,DE,∠CDE=∠ABD.
(1)求证:DE是⊙O的切线.
(2)如图②,当∠ABC=90°时,线段DE与BC有什么数量关系?请说明理由.
(3)如图③,若AB=AC=10,sin∠CDE=,求BC的长.
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【题目】如图,点A,B在反比例函数的图象上,点C,D在反比例函数的图象上,AC//BD//y轴,已知点A,B的横坐标分别为1,2,△OAC与△ABD的面积之和为,则k的值为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和.
求一次函数和反比例函数的表达式;
请直接写出时,x的取值范围;
过点B作轴,于点D,点C是直线BE上一点,若,求点C的坐标.
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【题目】近日,全省各地市的2019年初中毕业升学体育考试工作正依照某省教育厅的具体要求在有条不紊的进行当中,某中学在正式考试前,为了让同学们在中招体育考试中获得理想成绩,同时为了了解学生的当前水平,按批次进行了模拟考试,并随机抽取若干名学生问卷调查,现将调查结果绘制成如下不完整的统计图表:
组别 | 成绩范围x(分) | 频数(人数) |
A | 60<x≤70 | 54 |
B | 50<x≤60 | m |
C | 40<x≤50 | n |
D | 30<x≤40 | 6 |
(1)这次调查的总人数有 人,表中的m= ,n= ;
(2)扇形统计图中B组对应的圆心角为 °;
(3)请补全频数分布直方图;
(4)若该校九年级共有学生2700名,且都参加了正式的初中毕业升学体育考试,小华也参加了这次考试并得了67分,若规定60分以上为优秀,体育老师想要在获得优秀的学生中随机抽出1名,作为学生代表向学弟学妹们传授经验,求抽到小华的概率.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线与轴交于点与轴交于点二次函数的图象经过两点,且与轴的负半轴交于点.
求二次函数的解析式及点的坐标.
点是线段上的一动点,动点在直线下方的二次函数图象上.设点的横坐标为.过点作于点求线段的长关于的函数解析式,并求线段的最大值.
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【题目】如图,已知A、B是⊙O上两点,△OAB外角的平分线交⊙O于另一点C,CD⊥AB交AB的延长线于D.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)E为的中点,F为⊙O上一点,EF交AB于G,若tan∠AFE=,BE=BG,EG=3,求⊙O的半径.
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【题目】“校园安全”受到全社会的广泛关注,我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度,采用随机抽样调查的方式,并根据收集到的信息进行统计,绘制了下面两幅尚不完整的统计图.请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题:
(1)接受问卷调查的学生共有_______人,扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为_______°;
(2)请补全条形统计图;
(3)若该中学共有学生1800人,请根据上述调查结果,估计该中学学生中对校园安全知识 达到“了解”和“基本了解”程度的总人数;
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx﹣4k+4与抛物线y=x2﹣x交于A、B两点.
(1)直线总经过定点,请直接写出该定点的坐标;
(2)点P在抛物线上,当k=﹣时,解决下列问题:
①在直线AB下方的抛物线上求点P,使得△PAB的面积等于20;
②连接OA,OB,OP,作PC⊥x轴于点C,若△POC和△ABO相似,请直接写出点P的坐标.
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