Question

如图，将边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A₁、A₂、A₃、A₄分别是正方形的中心，则前5个这样的正方形重叠部分的面积和为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   1
4. D.
   2

Answer 1

C
分析：过点A₁分别作正方形两边的垂线A₁D与A₁E，根据正方形的性质可得A₁D=A₁E，四边形A₁EA₂D是正方形，再根据同角的余角相等求出∠BA₁D=∠CA₁E，然后利用“角边角”证明△A₁BD和△A₁CE全等，根据全等三角形的面积相等求出阴影部分的面积等于正方形面积的，同理可求所有阴影部分的面积都是正方形的面积的，然后根据正方形的面积列式计算即可．
解答：解：如图，过点A₁分别作正方形两边的垂线A₁D与A₁E，
∵点A₁是正方形的中心，
∴A₁D=A₁E，四边形A₁EA₂D是正方形，
∴∠BA₁D+∠BA₁E=90°，
又∵∠CA₁E+∠BA₁E=90°，
∴∠BA₁D=∠CA₁E，
在△A₁BD和△A₁CE中，，
∴△A₁BD≌△A₁CE（ASA），
∴△A₁BD的面积=△A₁CE的面积，
∴阴影部分的面积=正方形A₁EA₂D的面积=×1²=，
同理可求，每一个阴影部分的面积都是正方形面积的，为，
∴重叠部分的面积和=×4=1．
故选C．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形求出阴影部分的面积是正方形的面积的是解题的关键．