Question

17．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=2，点O为AB的中点，以点O为圆心作半圆与边AC相切于点D．则图中阴影部分的面积为（　　）

• A． 1-$\frac{1}{4}$π
• B． $\frac{1}{2}$-$\frac{π}{8}$
• C． 2-$\frac{3π}{4}$
• D． 2-$\frac{1}{4}$π

Answer 1

分析 根据切线，可得∠ADO=90°，根据AB的长，求出AO的长度；解直角三角形，求出半径OD的长度；根据阴影部分的面积=2×（三角形的面积减扇形的面积），计算即可．

解答 解：如右图，连接OD，
∵AC与⊙O相切，
∴∠ADO=90°，
∵∠C=90°，CA=CB，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠AOD=45°，
∵O是AB的中点，AB=2，
∴OA=$\sqrt{2}$，
∴OD=cos45°•OA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴S阴影=2（$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{45π×\frac{1}{2}}{360}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{π}{8}$．
故选B．

点评 本题是切线的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、三角形的面积、扇形的面积的综合应用，根据已知条件求出圆的半径是解决此题的关键．