Question

1．已知如图，抛物线y=-$\frac{\sqrt{3}}{12}$x²-x+3$\sqrt{3}$与x轴相交于点A、B，连接AB，与y轴相交于点C，点D为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴相交于点E．
（1）如图①，点F是直线AC上方抛物线上的一个动点，过点F作FG∥x轴，交线段AC于点G，求线段FG的最大值；
（2）如图②，点P为x轴下方、对称轴左侧抛物线上的一点，连接PA，以线段PA为边作等腰直角三角形PAQ，当点Q在抛物线对称轴上时，求点P的坐标；
（3）如图③，将线段AB绕点A顺时针旋转30°，与y相交于点M，连接BM，点S是线段AM的中点，连接OS，得△OSM．若点N是线段BM上一个动点，连接SN，将△SMN绕点S逆时针旋转60°得到△SOT，延长TO交BM于点K．若△KTN的面积等于△ABM的面积的$\frac{1}{12}$，求线段MN的长．

Answer 1

分析 （1）求出直线AC的解析式，用m表示点F、点G坐标，根据二次函数即可解决问题，注意自变量的取值范围．
（2）分三种情形列方程解决问题①如图②中，当AP为斜边时，作PF⊥DE于F；②如图③中，PQ为斜边时，作PF⊥OA于F；③当AQ为斜边时，作PF⊥OA于F，QH⊥FP于H．
（3）分两种情形想办法列出方程解决①如图⑤中，当MN＜BN时，作NF⊥TK于F；②如图⑥中，当MN＞BN时，作NF⊥TK于F．

解答 解：（1）如图①中，

∵y=-$\frac{\sqrt{3}}{12}$x²-x+3$\sqrt{3}$，
令x=0，y=3$\sqrt{3}$，
令y=0，-$\frac{\sqrt{3}}{12}$x²-x+3$\sqrt{3}$=0，解得x=2$\sqrt{3}$或-6$\sqrt{3}$，
∴A（-6$\sqrt{3}$，0），B（2$\sqrt{3}$，0），C（0，3$\sqrt{3}$），
∴直线AC解析式为y=$\frac{1}{2}$x+3$\sqrt{3}$，
设F（m，-$\frac{\sqrt{3}}{12}$x²-m+3$\sqrt{3}$），
∵FG∥AB，
∴G（-$\frac{\sqrt{3}}{6}$m²-2m，-$\frac{\sqrt{3}}{12}$m²-m+3$\sqrt{3}$），
∴FG=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$m²-3m=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$（m+3$\sqrt{3}$）²+$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
∵-6$\sqrt{3}$＜m＜-4$\sqrt{3}$，
∴m=-4$\sqrt{3}$时，FG有最大值，最大值为4$\sqrt{3}$．

（2）∵y=-$\frac{\sqrt{3}}{12}$（x+2$\sqrt{3}$）²+4$\sqrt{3}$，
∴顶点D坐标（-2$\sqrt{3}$，4$\sqrt{3}$），对称轴x=-2$\sqrt{3}$，
①如图②中，当AP为斜边时，作PF⊥DE于F，

设P（t，-$\frac{\sqrt{3}}{12}$t²-t+3$\sqrt{3}$），t＜-6$\sqrt{3}$，
∵∠AQP=90°，
∴∠AQE+∠PQF=90°，∠PQF+∠QPF=90°，
∴∠AQE=∠QPF，∵∠AEQ=∠PFQ，AQ=PQ，
∴△AEQ≌△QFP，
∴QF=AE=4$\sqrt{3}$，EQ=PF=-t，
∴EF=EQ+QF=4$\sqrt{3}$-t，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{12}$t²-t+3$\sqrt{3}$=-4$\sqrt{3}$+t，
∴t=-4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{33}$或-4$\sqrt{3}$+2$\sqrt{33}$（舍弃），
②如图③中，PQ为斜边时，作PF⊥OA于F，

由△PFA≌△AEQ，
∴PF=AE=4$\sqrt{3}$，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{12}$t²-t+3$\sqrt{3}$=-4$\sqrt{3}$，
解得t=-2$\sqrt{3}$-4$\sqrt{6}$或-2$\sqrt{3}$+4$\sqrt{6}$（舍弃），
③当AQ为斜边时，作PF⊥OA于F，QH⊥FP于H，

由△AFP≌△PHQ，
∴QH=PF，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{12}$t²-t+3$\sqrt{3}$=t，
解得t=-4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{21}$或-4$\sqrt{3}$+2$\sqrt{21}$（舍弃），
综上所述，满足条件的点P坐标为（-2$\sqrt{3}$-4$\sqrt{6}$，-4$\sqrt{3}$）或（-4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{21}$，-4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{21}$）或（-4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{33}$，-8$\sqrt{3}$-2$\sqrt{33}$）．

（3）①如图⑤中，当MN＜BN时，作NF⊥TK于F．

∵A（-6$\sqrt{3}$，0），B（2$\sqrt{3}$，0），∠OAM=30°，
∴OM=6，AM=16，M（0，-6），
∵AS=SM，
∴OS=SM=OM=6，
∴△OSM是等边三角形，设MN=m，
∵tan∠OBM=$\frac{OM}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠OBM=60°，
∴∠AMB=90°，
∵△SOT≌△SMN，
∴∠SOT=∠SMN=90°，
∵∠AOS=30°，
∴∠TOA=60°
∴∠BOK=∠OBK=60°，
∴△OBK是等边三角形，
∴OK=BK，
∵∠KOM=∠OMK=30°，
∴OK=KM=KB，
∵TO=MN=m，
∴TK=TO+OK=2$\sqrt{3}$+m，NK=MK-MN=2$\sqrt{3}$-m，
∴NF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$NK，
∵S_△KTN=$\frac{1}{12}$S_△ABM，
∴$\frac{1}{2}$•（2$\sqrt{3}$+m）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$•（2$\sqrt{3}$-m）=$\frac{1}{12}$•$\frac{1}{2}$•8$\sqrt{3}$•6，
∴m=2或-2（舍弃），
∴MN=2．
②如图⑥中，当MN＞BN时，作NF⊥TK于F．

同理可得，OT=MN=m，OK=2$\sqrt{3}$，TK=2$\sqrt{3}$+m，NK=MN-MK=m-2$\sqrt{3}$，NF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$NK，
∵S_△KTN=$\frac{1}{12}$S_△ABM，
∴$\frac{1}{2}$•（m+2$\sqrt{3}$）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$（m-2$\sqrt{3}$）=2$\sqrt{3}$，
解得m=2$\sqrt{5}$或-2$\sqrt{5}$（舍弃）．
综上所述，MN的长为2或2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、旋转变换、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考压轴题．