Question

9．抛物线y=ax²（a≠0）与直线y=2x-3相交于点A（1，b）．
（1）求a，b的值及两图象的另一交点坐标；
（2）在x轴上找一点P，使△ABP为直角三角形，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先将A点坐标代入y=2x-3，求出b的值，再代入y=ax²得出a的值，然后将抛物线与直线的解析式联立，解方程求出两图象的另一交点坐标；
（2）分别根据①以B为直角顶点，则∠PBA=90°，②以P为直角顶点，则∠PBA=90°，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．

解答 解：（1）∵直线y=2x-3过点A（1，b），
∴b=2×1-3=-1，
∴A（1，-1）．
∵抛物线y=ax²（a≠0）过点A（1，-1），
∴a=-1．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}}\\{y=2x-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=-9}\end{array}\right.$，
故a=-1，b=-1，两图象的另一交点坐标为（-3，-9）；

（2）分为两种情况：如图1，当∠PBA=90°时，过A作AE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴于F，

设P的坐标为（x，0），
∵A（1，-1），B（-3，-9），
∴由勾股定理得：BP²+AB²=PA²，
即9²+（x+3）²+（1+3）²+（-1+9）²=（x-1）²+1²，
解得：x=-21，
即P点的坐标为（-21，0）；
如图2，当∠PBA=90°时，过A作AE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴于F，

设P的坐标为（x，0），
∵A（1，-1），B（-3，-9），
∴由勾股定理得：BP²+AP²=AB²，
即（-3-x）²+9²+（1-x）²+1²=（1+3）²+（-1+9）²，
整理得：x²+2x+6=0，
△=2²-4×1×6＜0，此方程无解；
即此时不存在P点；
综合上述：点P的坐标是（-21，0）．

点评 本题考查了一次函数和二次函数的交点问题，直角三角形性质，勾股定理的应用，能求出符合的P点的所有情况是解此题的关键，难度偏大．