Question

【题目】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（8,0）动点P从A出发以每秒2个单位长度的速度沿线段AO向终点O运动，同时动点Q从O出发以相同速度沿y轴正半轴运动，点P到达点O，两点同时停止运动.

（1）当t= 时，∠OPQ=45°；

（2）如图2，以PQ为斜边在第一象限作等腰Rt△PQM，求M点坐标；

（3）在（2）的条件下，点R位x轴负半轴上一点，且,点M关于PQ的对称点为N，求t为何值时，△ONR为等腰直角三角形；

Answer 1

【答案】（1）t=2；（2）M(4,4)；（3）t为秒或秒时，△ONR为等腰直角三角形．

【解析】

（1）先由运动知，OP=8-2t，OQ=2t，根据等腰直角三角形的性质即可得结论；

（2）先判断出△MCQ≌△MBP，得出CQ=BP，MC=MB，即可得出点M的纵横坐标相等，用CQ=BP建立方程即可得出结论；

（3）利用等腰直角三角形和对称性确定出点N的坐标，分三种情况讨论计算即可得出结论．

(1)由运动知，AP=2t，OQ=2t，

∵A(8,0)，

∴OA=8，

∴0t<4，OP=82t，

在Rt△POQ中,∠OPQ=45°，

∴∠OQP=45°，

∴OP=OQ，

∴82t=2t，

∴t=2

(2)如图2,

过点M作MB⊥x轴于B，作MC⊥y轴于C，

∴四边形OBMC是矩形，

∴∠BMC=90°，

∵△PMQ是等腰直角三角形，

∴MQ=MP,∠PMQ=90°，

∴∠CMQ=∠BMP，

在△MCQ和△MBP中,

，

∴△MCQ≌△MBP，

∴CQ=BP.MC=MB，

∴设M(m,m)，

∴B(m,0),C(0,m)，

∵OQ=2t，OP=82t，

∴Q(0,2t),P(82t,0)，

∴CQ=|m2t|.BP=|82tm|，

∴|m2t|=|82tm|，

∴m=4，

∴M(4,4)，

(3)如图,∵点M，N关于PQ对称，

∴点G是MN的中点，MN⊥PQ于G，

∵△PMQ是等腰直角三角形，

∴QG=PG，

∴点G是PQ的中点，

由(2)知,Q(0,2t),P(82t,0)，

∴G(4t,t)，

∴点N(42t,2t4)，

∵点R为x轴负半轴上一点,且OR=OP

∴R(t4,0)，

∵△ONR为等腰直角三角形，

∴①、当∠ORN=90°，OR=RN时，

∴点N，R的横坐标相等，

∴4-2t=t4，

∴t=，

②当∠RON=90°，ON=OR时，
∴点N在y轴上，
∴4-2t=0，4-t=2t-4
∴t=2，t=，此种情况不存在；

③当∠ONR=90°，ON=NR时，
∴点N在OR的垂直平分线上，且点N到OR的距离等于OR，
∴4-2t=（t-4+0）①，且|2t-4|=|4-t|②，
解①得，t= ，解②得，t=或t=，
∴t=，
即：t为秒或秒时，△ONR为等腰直角三角形．