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精英家教网如图,帆船A和帆船B在太湖湖面上训练,O为湖面上的一个定点,教练船静候于点O,训练时要求A、B两船始终关于O点对称.以O为原点,建立如图所示的坐标系,x轴、y轴的正方向分别表示正东、正北方向.设A、B两船可近似看成在双曲线y=
4x
上运动,湖面风平浪静,双帆远影优美,训练中档教练船与A、B两船恰好在直线y=x上时,三船同时发现湖面上有一遇险的C船,此时教练船测得C船在东南45°方向上,A船测得AC与AB的夹角为60°,B船也同时测得C船的位置(假设C船位置不再改变,A、B、C三船可分别用A、B、C三点表示).
(1)发现C船时,A、B、C三船所在位置的坐标分别为A(
 
 
)、B(
 
 
)和C(
 
 
);
(2)发现C船,三船立即停止训练,并分别从A、O、B三点出发沿最短路线同时前往救援,设A、B两船的速度相等,教练船与A船的速度之比为3:4,问教练船是否最先赶到?请说明理由.
分析:(1)A、B两点直线y=x上和双曲线y=
4
x
,列方程组可求A、B两点坐标,在依题意判断△ABC为等边三角形,OA=2
2
,则OC=
3
OA=2
6
,过C点作x轴的垂线CE,垂足为E,利用OC在第四象限的角平分线上求OE,CE,确定C点坐标;
(2)分别求出AC、OC的长,分别表示教练船与A、B两船的速度与时间,比较时间的大小即可.
解答:解:(1)CE⊥x轴于E,解方程组
y=x
y=
4
x
x1=2
y1=2
x2=-2
y2=-2

∴A(2,2),B(-2,-2),
在等边△ABC中可求OA=2
2

则OC=
3
OA=2
6

在Rt△OCE中,OE=CE=OC•sin45°=2
3

∴C(2
3
,-2
3
);

(2)作AD⊥x轴于D,连AC、BC和OC,精英家教网
∵A(2,2),
∴∠AOD=45°,AO=2
2

∵C在O的东南45°方向上,
∴∠AOC=45°+45°=90°,
∵AO=BO,∴AC=BC,
又∵∠BAC=60°,
∴△ABC为正三角形,
∴AC=BC=AB=2AO=4
2

∴OC=
3
2
•4
2
=2
6

由条件设教练船的速度为3m,A、B两船的速度都为4m,
则教练船所用时间为
2
6
3m
,A、B两船所用时间均为
4
2
4m
=
2
m

2
6
3m
=
24
3m
2
m
=
18
3m

2
6
3m
2
m

∴教练船没有最先赶到.
点评:本题考查了直角坐标系中点的求法,根据点的坐标求两点之间距离的方法.解答本题时同学们要读懂题意,就不易出错.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,帆船A和帆船B在太湖湖面上训练,O为湖面上的一个定点,教练船静候于O点,训练时要求A、B两船始终关于O点对称.以O为原点,建立如图所示的坐标系,x轴、y轴的正方向分别表示正东、正北方向.设A、B两船可近似看成在双曲线y=上运动,湖面风平浪静,双帆远影优美,训练中当教练船与A、B两船恰好在直线y=x上时,三船同时发现湖面上有一遇险的C船,此时教练船测得C船在东南45°方向上,A船测得AC与AB的夹角为60°,B船也同时测得C船的位置(假设C船位置不再改变,A、B、C三船可分别用A、B、C三点表示).

1.发现C船时,A、B、C三船所在位置的坐标分别为A(_______,_______)、B(_______,_______)和C(_______,_______);

2.发现C船,三船立即停止训练,并分别从A、O、B三点出发沿最短路线同时前往救援,设A、B两船的速度相等,教练船与A船的速度之比为3:4,问教练船是否最先赶到?请说明理由

 

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科目:初中数学 来源: 题型:

(本题8分)如图,帆船A和帆船B在太湖湖面上训练,O为湖面上的一个定点,教练船静候于O点,训练时要求A、B两船始终关于O点对称.以O为原点,建立如图所示的坐标系,x轴、y轴的正方向分别表示正东、正北方向.设A、B两船可近似看成在双曲线y上运动,湖面风平浪静,双帆远影优美,训练中当教练船与A、B两船恰好在直线yx上时,三船同时发现湖面上有一遇险的C船,此时教练船测得C船在东南45°方向上,A船测得AC与AB的夹角为60°,B船也同时测得C船的位置(假设C船位置不再改变,A、B、C三船可分别用A、B、C三点表示).

   (1)发现C船时,A、B、C三船所在位置的坐标分别为A(_______,_______)、B(_______,_______)和C(_______,_______);

(2)发现C船,三船立即停止训练,并分别从A、O、B三点出发沿最短路线同时前往救援,设A、B两船的速度相等,教练船与A船的速度之比为3:4,问教练船是否最先赶到?请说明理由.

 

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科目:初中数学 来源: 题型:

(本题8分)如图,帆船A和帆船B在太湖湖面上训练,O为湖面上的一个定点,教练船静候于O点,训练时要求A、B两船始终关于O点对称.以O为原点,建立如图所示的坐标系,x轴、y轴的正方向分别表示正东、正北方向.设A、B两船可近似看成在双曲线y上运动,湖面风平浪静,双帆远影优美,训练中当教练船与A、B两船恰好在直线yx上时,三船同时发现湖面上有一遇险的C船,此时教练船测得C船在东南45°方向上,A船测得AC与AB的夹角为60°,B船也同时测得C船的位置(假设C船位置不再改变,A、B、C三船可分别用A、B、C三点表示).

(1)发现C船时,A、B、C三船所在位置的坐标分别为A(_______,_______)、B(_______,_______)和C(_______,_______);
(2)发现C船,三船立即停止训练,并分别从A、O、B三点出发沿最短路线同时前往救援,设A、B两船的速度相等,教练船与A船的速度之比为3:4,问教练船是否最先赶到?请说明理由.

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科目:初中数学 来源:2011年河北省中考考前模拟测试数学卷(1) 题型:解答题

如图,帆船A和帆船B在太湖湖面上训练,O为湖面上的一个定点,教练船静候于O点,训练时要求A、B两船始终关于O点对称.以O为原点,建立如图所示的坐标系,x轴、y轴的正方向分别表示正东、正北方向.设A、B两船可近似看成在双曲线y=上运动,湖面风平浪静,双帆远影优美,训练中当教练船与A、B两船恰好在直线y=x上时,三船同时发现湖面上有一遇险的C船,此时教练船测得C船在东南45°方向上,A船测得AC与AB的夹角为60°,B船也同时测得C船的位置(假设C船位置不再改变,A、B、C三船可分别用A、B、C三点表示).

1.发现C船时,A、B、C三船所在位置的坐标分别为A(_______,_______)、B(_______,_______)和C(_______,_______);

2.发现C船,三船立即停止训练,并分别从A、O、B三点出发沿最短路线同时前往救援,设A、B两船的速度相等,教练船与A船的速度之比为3:4,问教练船是否最先赶到?请说明理由

 

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