Question

1．如图：在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数$y=\frac{4}{3}x$与一次函数y=-x+7的图象交于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）在x轴上确定点M，使得△AOM是等腰三角形，请直接写出点M的坐标；
（3）如图，设x轴上一点P（a，0），过点P作x轴的垂线，分别交$y=\frac{4}{3}x$和y=-x+7的图象于点B、C，连接OC，若$BP=\frac{8}{5}OA$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）联立正比例函数与一次函数解析式组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，确定出A坐标即可；
（2）利用勾股定理求出OA的长，根据M在x轴上，且△AOM是等腰三角形，如图1所示，分情况讨论，求出M坐标即可；
（3）设出B与C坐标，表示出BP，由已知BP与OA关系，及OA的长求出BC的长，求出a的值，如图2所示，过A作AQ垂直于BC，求出三角形ABC面积；

解答 解：（1）联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x}\\{y=-x+7}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=4}\end{array}\right.$，
则点A的坐标为（3，4）；
（2）根据勾股定理得：OA=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
如图1所示，分四种情况考虑：
当OM₁=OA=5时，M₁（-5，0）；
当OM₂=M₂A时，M₂在OA的垂直平分线上，M₂（$\frac{25}{6}$，0）；
当AM₃=OA=5时，M₃（5，0）；
当OM₄=AM₄时，M₄（6，0），
综上，点M为（-5，0）、（$\frac{25}{6}$，0）、（5，0）、（6，0）；
（3）设点B（a，$\frac{4}{3}$a），C（a，-a+7），
∵$BP=\frac{8}{5}OA$=$\frac{8}{5}$×5=8，
∴$\frac{4}{3}$a=8，
解得：a=6，
过点A作AQ⊥BC，如图2所示，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AQ=$\frac{1}{2}$×9×（6-3）=$\frac{27}{2}$．

点评 本题考查了两直线平行与相交，求得两直线的交点，坐标与图形性质，待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．