Question

8．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，DE⊥BC于E，连接CD．
（1）如图1，如果∠A=30°，那么DE与CE之间的数量关系是 DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC．
（2）如图2，在（1）的条件下，P是线段CB上一点，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）如图3，如果∠A=45°，P是射线CB上一动点（不与B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转90°，得到线段DF，连接BF，请直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系（不需证明）．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，DE⊥BC于E，∠A=30°，所以∠CDE=30°，所以DE=$\sqrt{3}$EC；
（2）根据条件证明△DCP≌△DBF进而可证BF+BP=BC，在Rt△CDE中，利用特殊角的三角函数值可得BC=2CE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$DE，所以BF+BP=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$DE；
（3）分两种情况讨论：点P在线段CB上时，BF+BP=2DE，点P在CB延长线时，BF-BP=2DE．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°．
∵点D是AB的中点，
∴DB=DC，
∴△DCB为等边三角形．
∵DE⊥BC，
∴DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC，
故答案为DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC．
（2）BF+BP=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$DE．
理由如下：
∵线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，
∴∠PDF=60°，DP=DF．
∵∠CDB=60°，
∴∠CDB-∠PDB=∠PDF-∠PDB．
∴∠CDP=∠BDF．
在△DCP和△DBF中，∵DC=DB，∠CDP=∠BDF，DP=DF，
∴△DCP≌△DBF（SAS），
∴CP=BF．
∵CP=BC-BP，
∴BF+BP=BC．
∵由（1）DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC，
∴BC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$DE．
∴BF+BP=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$DE．
（3）①点P在CB延长线时，如图，

与（2）一样可证明△DCP≌△DBF，
∴CP=BF．
∵CP=BC+BP，
∴BF-BP=BC=2DE．　
②点P在线段CB上时，如图，

与（2）一样可证明△DCP≌△DBF，
∴CP=BF．
∵CP=BC-BP，
∴BF+BP=BC=2DE．
∴DE、BF、BP三者之间的数量关系为BF-BP=2DE，或BF+BP=2DE．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键是深入观察图形，准确找出图形中隐含的数量关系，正确运用直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点来分析、判断、推理或解答．