【题目】如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有两个不相等的实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,那么称这样的方程为“倍根方程”.例如,方程x2-6x+8=0的两个根是2和4,则方程x2-6x+8=0就是“倍根方程”.
(1)若一元二次方程x2-3x+c=0是“倍根方程”,则c= ;
(2)若(x-2) (mx-n)=0(m≠0)是“倍根方程”,求代数式4m2-5mn+n2的值;
(3)若方程ax2+bx+c=0 (a≠0)是倍根方程,且相异两点M(1+t,s),N(4-t,s),都在抛物线y=ax2+bx+c上,求一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根.
【答案】(1)c=2;(2)4m2-5mn+n2=0(3),.
【解析】
(1)由一元二次方程x2-3x+c=0是“倍根方程”,得到x1+2x1=3,2x12=c,求解即可得到答案;
(2)方程(x-2) (mx-n)=0的解为x1=2,x2=,因为两个根是2倍关系,所以x2=1或4,分别得到m,n的关系式,代入代数式中即可得解;
(3)方程ax2+bx+c=0 是倍根方程,得到其解x1=2x2,由已知条件得到抛物线的对称轴为直线x=,即可求出方程的根x1,x2.
(1)∵元二次方程x2-3x+c=0是“倍根方程”,
∴x1+x2=3,x1x2=c,即x1+2x1=3,2x12=c,
解得:c=2;
(2)∵是倍根方程,且,
由题意可知或,
∴或,
当时,=0,
当时,=0,
∴4m2-5mn+n2=0;
(3)∵方程是倍根方程,不妨设
∵相异两点都在抛物线上,
∴抛物线的对称轴为,
∴,
又∵
∴,即,
∴
故的两根分别为,.
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【题目】在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,点D在BC边上,△ABD和△AFD关于直线AD对称,∠FAC的平分线交BC于点G,连接FG.
(1)求∠DFG的度数;
(2)设∠BAD=θ,
①当θ为何值时,△DFG为等腰三角形;
②△DFG有可能是直角三角形吗?若有,请求出相应的θ值;若没有,请说明理由.
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【题目】(1)如图1.△ABC中,∠C为直角,AC=6,BC=8,D,E两点分别从B,A开始同时出发,分别沿线段BC,AC向C点匀速运动,到C点后停止,他们的速度都为每秒1个单位,请问D点出发2秒后,△CDE的面积为多少?
(2)如图2,将(1)中的条件“∠C为直角”改为∠C为钝角,其他条件不变,请问是否仍然存在某一时刻,使得△CDE的面积为△ABC面积的一半?若存在,请求出这一时刻,若不存在,请说明理由.
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【题目】问题背景:如图1:在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120 ,∠B=∠ADC=90°.E、F分别是 BC,CD 上的点。且∠EAF=60° . 探究图中线段BE,EF,FD 之间的数量关系。 小王同学探究此问题的方法是,延长 FD 到点 G,使 DG=BE,连结 AG,先证明△ABE≌△ADG, 再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是_________;
探索延伸:如图2,若四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180° .E,F 分别是 BC,CD 上的点,且∠EAF=∠BAD,上述结论是否仍然成立,并说明理由;
实际应用:如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东 70°的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以55 海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东 50°的方向以 75 海里/小时的速度前进2小时后, 指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 E,F 处,且两舰艇之间的夹角为70° ,试求此时两舰 艇之间的距离。
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【题目】如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象,其顶点坐标为(1,n),抛物线与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间.则下列结论
①a-b+c>0;②3a+b=0;
③b2=4a(c-n);
④一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根.
其中正确结论的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,把一个点的横、纵坐标都乘以同一个实数,然后将得到的点先向右平移个单位,再向上平移个单位,得到点
(1)若,,,,则点坐标是_____;
(2)对正方形及其内部的每个点进行上述操作,得到正方形及其内部的点,其中点的对应点分别为.求;
(3)在(2)的条件下,己知正方形内部的一个点经过上述操作后得到的对应点与点重合,求点的坐标.
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【题目】长为1,宽为a的矩形纸片(),如图那样折一下,剪下一个边长等于矩形宽度的正方形(称为第一次操作);再把剩下的矩形如图那样折一下,剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形(称为第二次操作);如此反复操作下去.若在第n此操作后,剩下的矩形为正方形,则操作终止.当n=3时,a的值为_____________.
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【题目】在△ABC中,AB=AC,点D在直线BC上(不与点B、C重合),线段AD绕A点逆时针方向旋转∠BAC的大小,得线段AE,连接DE、CE.探索∠BCE与∠BAC的大小关系,并加以证明.
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【题目】阅读材料:
用配方法可以解一元二次方程,还可以用它来解决很多问题.例如:因为3a2≥0,所以3a2+1就有最小值1,即3a2+1≥1,只有当a=0时,才能得到这个式子的最小值1.同样,因为-3a2≤0,所以-3a2+1有最大值1,即-3a2+1≤1,只有在a=0时,才能得到这个式子的最大值1.
(1)当x=___时,代数式3(x+3)2+4有最小____(填写大或小)值为____.
(2)当x=_____时,代数式-2x2+4x+3有最大____(填写大或小)值为____.
(3)矩形花园的一面靠墙,另外三面的栅栏所围成的总长度是16m,当花园与墙相邻的边长为多少时,花园的面积最大?最大面积是多少?
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