Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=12cm．
（1）求△ABC的内切圆半径；
（2）若移动圆心O的位置，使⊙O保持与△ABC的边AC、BC都相切．
①求半径r的取值范围；
②当⊙O的半径r为

60

17

cm时，求圆心O的位置．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：

分析：（1）△ABC的内切圆⊙O与各边相切于D、E、F，连结OD、OE，如图，△ABC的内切圆半径为r，先利用勾股定理计算出AB=13cm，根据三角形内切的性质得OD⊥BC，OE⊥AC，易得四边形ODCE为正方形，则CD=CE=r，所以BD=12-r，AE=5-r，然后根据切线长定理得AF=AE=5-r，BF=BD=12-r，则5-r+12-r=13，解得r=2cm；
（2）①根据切线的性质，点O到CA和CB的距离相等，则点O在∠ABC的角平分线上，当⊙O与AC切于点A时，⊙O的半径最大，此时r=5，于是得到半径r的取值范围为0＜r≤5；
②作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，如图，四边形ODCE为正方形，根据切线的性质得OE=OD=CD=r，利用OD∥BC，得到

OD

BC

=

AD

AC

，即

r

5

=

12-r

12

，可计算出r=

60

17

，所以判断当⊙O的半径r为

60

17

cm时，点O在AB上．

解答：解：（1）△ABC的内切圆⊙O与各边相切于D、E、F，连结OD、OE，如图，△ABC的内切圆半径为r，

在Rt△ABC中，∠C=90°，∵AC=5cm，BC=12cm．
∴AB=

AC2+BC2

=13cm
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴OD⊥BC，OE⊥AC，
而∠C=90°，
∴四边形ODCE为矩形，
而OD=OE=r，
∴四边形ODCE为正方形，
∴CD=CE=r，
∴BD=12-r，AE=5-r，
∵⊙O与AB切于F，
∴AF=AE=5-r，BF=BD=12-r，
∴5-r+12-r=13，
∴r=2cm；
（2）①∵⊙O与△ABC的边AC、BC都相切，
∴点O在∠ABC的角平分线上，
当⊙O与AC切于点A时，⊙O的半径最大，此时r=5，
∴半径r的取值范围为0＜r≤5；
②当⊙O的半径r为

60

17

cm时，点O在AB上，作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，如图，

四边形ODCE为正方形，
∵⊙O与△ABC的边AC、BC都相切，
∴OE=OD=CD=r，
∵OD∥BC，
∴

OD

BC

=

AD

AC

，即

r

5

=

12-r

12

，解得r=

60

17

，
即当⊙O的半径r为

60

17

cm时，点O在AB上．

点评：本题考查了三角形的内切圆和内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．