Question

【题目】如图，⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上的一点，∠EAB＝∠ADB．

（1）求证：EA是⊙O的切线；

（2）已知点B是EF的中点，求证：以A、B、C为顶点的三角形与△AEF相似．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）连接CD，由AC是⊙O的直径，可得出∠ADC=90°，由角的关系可得出∠EAC=90°，即可得出EA是⊙O的切线；

（2）连接BC，由AC是⊙O的直径，可得出∠ABC=90°，由在Rt△EAF中，B是EF的中点，可得出∠BAC=∠AFE，即可得出△EAF∽△CBA．

（1）如图1，连接CD．

∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠ADB+∠EDC=90°．

∵∠BAC=∠EDC，∠EAB=∠ADB，∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=90°，∴EA是⊙O的切线．

（2）如图2，连接BC，

∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∴∠CBA=∠EAF=90°．

∵B是EF的中点，∴在Rt△EAF中，AB=BF，∴∠BAC=∠AFE，∴△EAF∽△CBA．