Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC延长线上一点，E是边AC上一点，如果∠EBC=∠D，BC=4，cos∠ABC=

1

3

．
（1）求证：

CE

AB

=

BC

BD

；
（2）如果S₁、S₂分别表示△BCE、△ABD的面积，求：S₁•S₂的值；
（3）当∠AEB=∠ACD时，求△ACD的面积．

Answer 1

分析：（1）由AB=AC，根据“等边对等角”得到一对角相等，由已知的两角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，得到三角形BCE与三角形DBA相似，由相似得比例得证；
（2）过A作AH垂直于BC，由AB=AC，根据“三线合一”得到BH等于BC的一半，由BC的长求出BH的长，在根据锐角三角形函数的余弦函数定义，由BH的长和cos∠ABC的值求出AB的长，在直角三角形中，由AB和BH，利用勾股定理求出AH的长，再由第一问的相似得到对应高之比等于相似比，即等于对应边之比，化比例式为乘积式，把求出的AH和BC代入即可求出AH•BC的值，然后利用三角形的面积公式分别表示出S₁与S₂，进而表示出S₁•S₂，等量代换后把求出AH•BC的值代入即可求出值；
（3）由∠AEB=∠ACD，根据等角的邻补角相等得到∠BEC=∠ACB，又AB=AC，根据“等边对等角”得到∠ABC=∠ACB，等量代换得到∠BEC=∠ACB=∠ABC，根据三角形的内角和定理，等量代换得到∠BAC=∠EBC，又∠AEB=∠ACD，等量代换得到∠BAC=∠D，再根据已知的两角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形ABC与三角形DBA相似，根据相似得比例，由AB和BC的长求出BD的长，进而求出CD的长，然后由CD边上的高AH，利用三角形的面积公式求出三角形ACD的面积．

解答：解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．（1分）
∵∠EBC=∠D，
∴△BCE∽△DBA．（2分）
∴

CE

AB

=

BC

BD

．（1分）

（2）作AH⊥BC于点H，
∵AB=AC，BC=4，
∴BH=2．
∵cos∠ABC=

1

3

，
∴

BH

AB

=

1

3

．
∴AB=AC=6．（1分）
在Rt△ABH中，
AH=

AB2-BH2

=

62-22

=4

2

．（1分）
过E作EG⊥BC，交BC于G，
∵△BCE∽△DBA，
∴

EG

AH

=

BC

BD

．（1分）
∴EG•BD=AH•BC=4

2

×4=16

2

．（1分）
∴S1•S2=

1

2

BC•EG•

1

2

BD•AH=

1

4

(AH•BC)2
=

1

4

×(16

2

)2=128．（1分）

（3）∵∠AEB=∠ACD，
∴∠BEC=∠ACB，又∠ABC=∠ACB．
∴∠BEC=∠ACB=∠ABC．
∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB，∠EBC=180°-∠BEC-∠ACB，
∴∠BAC=∠EBC．
∵∠EBC=∠D．
∴∠BAC=∠D．（1分）
又∵∠ABC=∠DBA，
∴△ABC∽△DBA．（1分）
∴

BC

AB

=

AB

BD

．
∴

4

6

=

6

BD

．（1分）
∴BD=9．
∴CD=5．（1分）
∴S△ACD=

1

2

CD•AH=

1

2

×5×4

2

=10

2

．（1分）

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及解三角形的知识．本题主要利用转化的数学思想，借助图形的性质、公式或已知条件，将问题通过转化，进而达到解决问题的目的，转化的数学思想就是要我们深刻理解并灵活运用新旧知识的联系．第2、3问要求三角形的面积，分别过A和E作出BC边上的高是解题的突破点，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．