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【题目】如图1,过点A04)的圆的圆心坐标为C20),B是第一象限圆弧上的一点,且BC⊥AC,抛物线经过CB两点,与x轴的另一交点为D

1)点B的坐标为( ),抛物线的表达式为 .

2)如图2,求证:BD//AC

3)如图3,点Q为线段BC上一点,且AQ=5,直线AQ⊙C于点P,求AP的长.

【答案】1)(622)见解析(38

【解析】

解:(1)过点BBE⊥x轴于点E

ACBC
∴∠ACO+BCE=90°
∵∠ACO+OAC=90°,∠BCE+CBE=90°
∴∠OAC=BCE,∠ACO=CBE
∵在AOCCEB中,

△AOC≌△CEBAAS),则

CE=AO=4 BE=CO=2OE=6

∴B62).

B62),C20)代入,得

,解得

抛物线的表达式为

2)证明:令,即,解得x=2x=7

∴D70).

如下图所示,过点BBEx轴于点E

DE=OD-OE=1CD=OD-OC=5
RtBDE中,由勾股定理得:

RtBCE中,由勾股定理得:

BCD中,BC =BD=CD=5

∴∠CBD=90°,即BD⊥BC

∵ AC⊥BC∴BD//AC

3)连接ABBP

∵AC⊥BCBC=AC=

∴∠ACB=90°∠ABC=45°∠APB=∠ACB=45°AB=

∴∠ABQ=∠APB

∵∠BAQ=∠PAB∴△ABQ∽△APB

,即,解得AP=8

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