Question

某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售；B类杨梅深加工后再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2）之间的函数关系如图；B类杨梅深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s=12+3t，平均销售价格为9万元/吨．
（1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；
（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元（毛利润=销售总收入-经营总成本）．
①求w关于x的函数关系式；
②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？
（3）第二次，该公司准备投入132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：应用题,压轴题

分析：（1）这是一个分段函数，分别求出其函数关系式；
（2）①当2≤x＜8时及当x≥8时，分别求出w关于x的表达式．注意w=销售总收入-经营总成本=w_A+w_B-3×20；
②若该公司获得了30万元毛利润，将30万元代入①中求得的表达式，求出A类杨梅的数量；
（3）本问是方案设计问题，总投入为132万元，这笔132万元包括购买杨梅的费用+A类杨梅加工成本+B类杨梅加工成本．共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m-x）吨，分别求出当2≤x＜8时及当x≥8时w关于x的表达式，并分别求出其最大值．

解答：解：（1）①当2≤x＜8时，如图，
设直线AB解析式为：y=kx+b，
将A（2，12）、B（8，6）代入得：

2k+b=12 8k+b=6

，解得

k=-1 b=14

，
∴y=-x+14；
②当x≥8时，y=6．
所以A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式为：
y=

-x+14  (2≤x＜8) 6  (x≥8)

；

（2）设销售A类杨梅x吨，则销售B类杨梅（20-x）吨．
①当2≤x＜8时，
w_A=x（-x+14）-x=-x²+13x；
w_B=9（20-x）-[12+3（20-x）]=108-6x
∴w=w_A+w_B-3×20
=（-x²+13x）+（108-6x）-60
=-x²+7x+48；
当x≥8时，
w_A=6x-x=5x；
w_B=9（20-x）-[12+3（20-x）]=108-6x
∴w=w_A+w_B-3×20
=（5x）+（108-6x）-60
=-x+48．
∴w关于x的函数关系式为：
w=

-x2+7x+48  (2≤x＜8) -x+48  (x≥8)

．
②当2≤x＜8时，-x²+7x+48=30，解得x₁=9，x₂=-2，均不合题意；
当x≥8时，-x+48=30，解得x=18．
∴当毛利润达到30万元时，直接销售的A类杨梅有18吨．

（3）设该公司用132万元共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m-x）吨，
则购买费用为3m万元，A类杨梅加工成本为x万元，B类杨梅加工成本为[12+3（m-x）]万元，
∴3m+x+[12+3（m-x）]=132，化简得：x=3m-60．
①当2≤x＜8时，
w_A=x（-x+14）-x=-x²+13x；
w_B=9（m-x）-[12+3（m-x）]=6m-6x-12
∴w=w_A+w_B-3×m
=（-x²+13x）+（6m-6x-12）-3m
=-x²+7x+3m-12．
将3m=x+60代入得：w=-x²+8x+48=-（x-4）²+64
∴当x=4时，有最大毛利润64万元，
此时m=

64

3

，m-x=

52

3

；
②当x≥8时，
w_A=6x-x=5x；
w_B=9（m-x）-[12+3（m-x）]=6m-6x-12
∴w=w_A+w_B-3×m
=（5x）+（6m-6x-12）-3m
=-x+3m-12．
将3m=x+60代入得：w=48
∴当x＞8时，有最大毛利润48万元．
综上所述，购买杨梅共

64

3

吨，其中A类杨梅4吨，B类

52

3

吨，公司能够获得最大毛利润，最大毛利润为64万元．

点评：本题是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大．解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系．涉及到分段函数时，注意要分类讨论．