Question

【题目】已知：如图，在平行四边形ABDC中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作BE的垂线交BE于点F，交BC于点G，连接EG，CF．

（1）求证：四边形AEGE是菱形；
（2）若∠ABC=60°，AB=4，AD=5，求CF的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE，

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD∥BC且AD=BC，

∴∠CBE=∠AEB，

∴∠ABE=∠AEB=∠CBE，∴AB=AE，

∵AF⊥BE，

∴∠AFB=∠GFB=90°，

在△ABF和△GBF中， ，

∴△ABF≌△GBF（ASA），

∴AB=GB，

∴AE=GB，

又∵AD∥BC，

∴四边形ABGE是平行四边形，

又∵AB=GB，

∴四边形ABGE是菱形；

（2）

解：过点F作FM⊥BC于点M，如图所示：

∵四边形ABGE是菱形，

∴∠GBE= ∠ABC=30°，BG=AB=4，BC=AD=5，

在Rt△BFG中，BF=cos∠GBF×BG=cos30°×4= ×4=2 ，

在Rt△BFM中，FM= BF= ×2 = ，

BM=cos∠GBF×BF=cos30°×BF= ×2 =3，

∴CM=BC﹣BM=5﹣3=2，

∴Rt△FMC中，CF= = = ．

【解析】（1）先证明AB=AE，由ASA证明△ABF≌△GBF，得出AB=GB，因此AE=GB，证出四边形ABGE是平行四边形，即可得出结论；（2）过点F作FM⊥BC于点M，由菱形的性质得出∠GBE= ∠ABC=30°，BG=AB=4，BC=AD=5，在Rt△BFG中，由三角函数求出BF=2 ，在Rt△BFM中，求出FM= ，再求出BM=3，得出CM=BC﹣BM=5﹣3=2，Rt△FMC中，由勾股定理即可得出CF的长．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平行四边形的性质的相关知识，掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．