Question

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx经过两点A（-1，1），B（2，2）．过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，交y轴于点D．
（1）求此抛物线对应的函数表达式及点C的坐标；
（2）若抛物线上存在点M，使得△BCM的面积为$\frac{7}{2}$，求出点M的坐标；
（3）连接OA、OB、OC、AC，在坐标平面内，求使得△AOC与△OBN相似（边OA与边OB对应）的点N的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，1），B（2，2）代入y=ax²+bx求得抛物线的函数表达式为y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{1}{3}$x，由于BC∥x轴，设C（x₀，2）．于是得到方程$\frac{2}{3}$x₀²-$\frac{1}{3}$x₀=2，即可得到结论；
（2）设△BCM边BC上的高为h，根据已知条件得到h=2，点M即为抛物线上到BC的距离为2的点，于是得到M的纵坐标为0或4，令y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{1}{3}$x=0，或令y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{1}{3}$x=4，解方程即可得到结论；
（3）解直角三角形得到OB=2$\sqrt{2}$，OA=$\sqrt{2}$，OC=$\frac{5}{2}$，∠AOD=∠BOD=45°，tan∠COD=$\frac{3}{4}$①如图1，当△AOC∽△BON时，求得ON=2OC=5，过N作NE⊥x轴于E，根据三角函数的定义得到OE=4，NE=3，于是得到结果；②如图2，根据相似三角形的性质得到BN=2OC=5，过B作BG⊥x轴于G，过N作x轴的平行线交BG的延长线于F解直角三角形得到BF=4，NF=3于是得到结论．

解答 解：（1）把A（-1，1），B（2，2）代入y=ax²+bx得：$\left\{\begin{array}{l}{1=a-b}\\{2=4a+2b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{3}}\\{b=-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
故抛物线的函数表达式为y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{1}{3}$x，
∵BC∥x轴，
设C（x₀，2）．
∴$\frac{2}{3}$x₀²-$\frac{1}{3}$x₀=2，解得：x₀=-$\frac{3}{2}$或x₀=2，
∵x₀＜0，
∴C（-$\frac{3}{2}$，2）；

（2）设△BCM边BC上的高为h，
∵BC=$\frac{7}{2}$，
∴S_△BCM=$\frac{1}{2}×\frac{7}{2}$•h=$\frac{7}{2}$，
∴h=2，点M即为抛物线上到BC的距离为2的点，
∴M的纵坐标为0或4，令y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{1}{3}$x=0，
解得：x₁=0，x₂=$\frac{1}{2}$，
∴M₁（0，0），M₂（$\frac{1}{2}$，0），令y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{1}{3}$x=4，
解得：x₃=$\frac{1+\sqrt{97}}{4}$，x₄=$\frac{1-\sqrt{97}}{4}$
，∴M₃（$\frac{1+\sqrt{97}}{4}$，4），M₄（$\frac{1-\sqrt{97}}{4}$，4），
综上所述：M点的坐标为：（0，0），（$\frac{1}{2}$，0），（$\frac{1+\sqrt{97}}{4}$，4），（$\frac{1-\sqrt{97}}{4}$，4）；

（3）∵A（-1，1），B（2，2），C（-$\frac{3}{2}$，2），D（0，2），
∴OB=2$\sqrt{2}$，OA=$\sqrt{2}$，OC=$\frac{5}{2}$，
∴∠AOD=∠BOD=45°，tan∠COD=$\frac{3}{4}$，
①如图1，当△AOC∽△BON时，$\frac{AO}{BO}=\frac{OC}{ON}$，∠AOC=∠BON，
∴ON=2OC=5，
过N作NE⊥x轴于E，
∵∠COD=45°-∠AOC=45°-∠BON=∠NOE，
在Rt△NOE中，tan∠NOE=tan∠COD=$\frac{3}{4}$，
∴OE=4，NE=3，
∴N（4，3）同理可得N（3，4）；
②如图2，当△AOC∽△OBN时，$\frac{AO}{OB}=\frac{OC}{BN}$，∠AOC=∠OBN，
∴BN=2OC=5，
过B作BG⊥x轴于G，过N作x轴的平行线交BG的延长线于F，
∴NF⊥BF，
∵∠COD=45°-∠AOC=45°-∠OBN=∠NBF，
∴tan∠NBF=tan∠COD=$\frac{3}{4}$，
∴BF=4，NF=3，
∴N（-1，-2），同理N（-2，-1），
综上所述：使得△AOC与△OBN相似（边OA与边OB对应）的点N的坐标是（4，3），（3，4），（-1，-2），（-2，-1）．

点评 本题主要考查的是二次函数与相似三角形的综合应用，难度较大，解答本题需要同学们熟练掌握二次函数和相似三角形的相关性质．