Question

如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个的顶点与点P重合，第二个的顶点是与PQ的交点，…，最后一个的顶点、在圆上．求正三角形的边长=         , =           , =         .

Answer 1

    

分析：（1）设PQ与B₁C₁交于点D，连接OB₁，由特殊角的三角函数值可得，OD=A₁D-OA₁= a₁-1，再由勾股定理即可求出a₁的值；
（2）设PQ与B₂C₂交于点E，连接OB₂，由特殊角的三角函数值可得OE=2A₁A₂-OA₁=a₂-1，再由Rt△OB₂E勾股定理即可求出a₂的值；
（3）设PQ与B_nC_n交于点F，连接OBn，则OF=na_n-1，在Rt△OB_nF中利用勾股定理可得，a_n=．
解答：解：（1）设PQ与B₁C₁交于点D，连接OB₁，

则OD=A₁D-OA₁=a₁-1，
在Rt△OB₁D中，OB₁²=B₁D²+OD²，
即1²=（a₁）²+（a₁-1）²，
解得，a₁=；
（2）设PQ与B₂C₂交于点E，连接OB₂，则OE=2A₁A₂-OA₁=a₂-1，
在Rt△OB₂E中，OB₂²=B₂E²+OE²，
即1²=（a₂）²+（a₂-1）²，
解得，a₂=；
（3）设PQ与B_nC_n交于点F，连接OBn，则OF=na_n-1，
在Rt△OB_nF中，OB_n²=B_nF²+OF²，
即1²=（a_n）²+（na_n-1）²，
解得，a_n=．
故答案为：