Question

20．某企业有员工300人，生产A种产品，平均每人每年可创造利润m万元（m为大于零的常数）．为减员增效，决定从中调配x人去生产新开发的B种产品．根据评估，调配后，继续生产A种产品的员工平均每人每年创造的利润可增加20%，生产B种产品的员工平均每人每年可创造利润1.54m万元．
（1）调配后，企业生产A种产品的年利润为1.2（300-x）m 万元，企业生产B种产品的年利润为1.54mx 万元（用含x和m的代数式表示）．若设调配后企业全年总利润为y万元，则y关于x的函数解析式为y=360m+0.34mx．
（2）若要求调配后，企业生产A种产品的年利润不小于调配前企业年利润的$\frac{4}{5}$，生产B种产品的年利润大于调配前企业年利润的$\frac{1}{2}$，应有哪几种调配方案？请设计出来，并指出其中哪种方案全年总利润最大（必要时，运算过程可保留3个有效数字）．

Answer 1

分析 （1）调配后企业生产A种产品的年利润=生产A种产品的人数×原来平均每人每年可创造利润×（1+20%）；生产B种产品的年利润=生产B种产品的人数×1.54m；总利润=调配后企业生产A种产品的年利润+生产B种产品的年利润，把相关数值代入即可；
（2）关系式为：调配后企业生产A种产品的年利润≥调配前企业年利润的五分之四，生产B种产品的年利润＞调配前企业年利润的一半，把相关数值代入求得x的取值范围，根据x的实际意义确定其具体值，从而得出调配方案；再根据（1）中y与x的关系式，运用一次函数的性质，可求得利润最大的调配方案．

解答 解：（1）生产A种产品的人数为300-x，平均每人每年创造的利润为m×（1+20%）万元，所以调配后企业生产A种产品的年利润为1.2（300-x）m万元；
生产B种产品的人数为x，平均每人每年创造的利润为1.54m，所以生产B种产品的年利润为1.54mx万元；
调配后企业全年的总利润y=1.2（300-x）m+1.54mx=360m+0.34mx．
故答案为：1.2（300-x）m；1.54mx；y=360m+0.34mx；

（2）$\left\{\begin{array}{l}{1.2（300-x）m≥\frac{4}{5}×300m}\\{1.54xm＞\frac{1}{2}×300m}\end{array}\right.$，
解得：97 $\frac{31}{77}$＜x≤100，
∵x为正整数，
∴x可取98，99，100．
∴共有三种调配方案：
①202人生产A种产品，98人生产B种产品；
②201人生产A种产品，99人生产B种产品；
③200人生产A种产品，100人生产B种产品；
∵y=0.34mx+360m，
∴x越大，利润y越大，
∴当x取最大值100，即200人生产A种产品，100人生产B种产品时总利润最大．

点评 本题考查一元一次不等式组的应用，一次函数的性质及方案选择问题，根据关键语句得到相应的关系式是解决问题的关键．