Question

3．如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，∠A=30°，∠C=45°，△COD固定不动，△AOB绕着O点逆时针旋转a（0°＜α＜180°）．
（1）若△AOB绕着O点旋转图2的位置，若∠BOD=60°，则∠AOC=120°；
（2）若0°＜α＜90°，在旋转的过程中∠BOD+∠AOC的值会发生变化吗？若不变化，请求出这个定值；
（3）若90°＜α＜180°，问题（2）中的结论还成立吗？说明理由；
（4）将△AOB绕点O逆时针旋转α度（0°＜α＜180°），问当α为多少度时，两个三角形至少有一组边所在直线垂直？（请直接写出所有答案）．

Answer 1

分析 （1）由∠BOD=60°，∠DOC=∠AOB=90°推出∠AOD=∠BOC=30°，推出∠AOC=∠AOD+∠DOC=30°+90°=120°即可；
（2）结论：即在旋转的过程中∠BOD+∠AOC=180°，不发生变化．如图2中，若0°＜α＜90°，由∠AOD=α，推出∠AOC=∠AOD+∠DOC=90°+α，∠BOD=∠DOC-∠AOD=90°-α，推出∠BOD+∠AOC=90°+α+90°-α=180°即可证明；
（3）结论仍然成立．如图3中，由∠AOB=∠COD=90°，又∠BOD+∠AOC+∠AOB+∠COD=360°，即可推出∠BOD+∠AOC=360°-∠AOB-∠COD=360°-90°-90°=180°；
（4）将△AOB绕点O逆时针旋转α度（0°＜α＜180°），当α为45°或60°或90°或105°或135°或150°时，两个三角形至少有一组边所在直线垂直；

解答 解：（1）如图2中，
∵∠BOD=60°，∠DOC=∠AOB=90°
∴∠AOD=∠BOC=30°，
∴∠AOC=∠AOD+∠DOC=30°+90°=120°，
故答案为120°．

（2）结论：即在旋转的过程中∠BOD+∠AOC=180°，不发生变化．
理由：如图2中，若0°＜α＜90°，∵∠AOD=α，
∴∠AOC=∠AOD+∠DOC=90°+α，∠BOD=∠DOC-∠AOD=90°-α，
∴∠BOD+∠AOC=90°+α+90°-α=180°，
即在旋转的过程中∠BOD+∠AOC=180°，不发生变化．

（3）结论仍然成立．
理由：如图3中，
∵∠AOB=∠COD=90°，
又∵∠BOD+∠AOC+∠AOB+∠COD=360°，
∴∠BOD+∠AOC=360°-∠AOB-∠COD=360°-90°-90°=180°．

（4）将△AOB绕点O逆时针旋转α度（0°＜α＜180°），当α为45°或60°或90°或105°或135°或150°时，两个三角形至少有一组边所在直线垂直．

点评 本题考查旋转变换、直角三角形的性质、周角、两直线垂直等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．