【题目】如图 1,在五边形 ABCDE 中,∠E=90°,BC=DE.连接 AC,AD, 且 AB=AD,AC⊥BC.
(1)求证:AC=AE;
(2)如图 2,若∠ABC=∠CAD,AF 为 BE 边上的中线,求证:AF⊥CD;
(3)如图 3,在(2)的条件下,AE=6,DE=4,则五边形 ABCDE 的面积为_____.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)42
【解析】
(1)由已知可得Rt△ABC≌Rt△ADE(HL),可得结论;
(2)延长 AF,BC 交于点 G,连接CG,可得∠G=∠EAG,可证明得:△AEF≌△GBF(AAS),可得AE=BG,∠ABG=∠CAD,可证明得△ABG≌△DAC(SAS),∠G=∠ACD,可得结论;
(3) 在(2)的条件下,AE=6,DE=4,则五边形 ABCDE 的面积为42.
(1)∵AC⊥BC,,
∴∠ACB=90°=∠E. 在 Rt△ABC 和 Rt△ADE 中,
AB AD,BC DE,
∴Rt△ABC≌Rt△ADE(HL),
∴AC=AE.
(2)延长 AF,BC 交于点 G,
∵∠ABC=∠CAD,∠BAC=∠DAE,
∴∠CAD+∠DAE=∠ABC+∠BAC=90°=∠ACB,,
∴BG∥AE,
∴∠G=∠EAG,
在△AEF 和△GBF 中,
AFE GFB,EAF G,EF BF,
∴△AEF≌△GBF(AAS),
∴AE=BG,
∵AC= AE,
∴BG=AC.
∵∠2=∠3,
又∠ABG=∠1+∠2,
∠CAD=∠BAD+∠CAE-∠BAE,,
=180-∠BAE=180-(180-∠1-∠3)=∠1+∠3,
∴∠ABG=∠CAD,
在△ABG 和△DAC 中,
AB AD,ABG DAC,BG AC,
∴△ABG≌△DAC(SAS),
∴∠G=∠ACD,
∵∠ACG=∠ACB= 90° 即:∠ACD+∠GCD=90°,
∴∠G+∠GCD=90°,
∴AF⊥CD;
(3)在(2)的条件下,AE=6,DE=4,则五边形 ABCDE 的面积为42 .
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【题目】如图,将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC的面积为9,阴影部分三角形的面积为4.若AA'=1,则A'D等于( )
A. 2 B. 3 C. D.
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【题目】小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后,分别进行了如下数学探究:把一根铁丝截成两段,
探究1:小明截成了两根长度不同的铁丝,并用两根不同长度的铁丝分别围成两个正方形,已知两正方形的边长和为20cm,它们的面积的差为40cm2,则这两个正方形的边长差为 .
探究2:小红截成了两根长度相同的铁丝,并用两根同样长的铁丝分别围成一个长方形与一个正方形,若长方形的长为xm,宽为ym,
(1)用含x、y的代数式表示正方形的边长为 ;
(2)设长方形的长大于宽,比较正方形与长方形面积哪个大,并说明理由.
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【题目】如图,∠CAB=∠DAB下列条件中不能使△ABC≌△ABD的是( )
A. ∠C=∠D B. ∠ABC=∠ABD C. AC=AD D. BC=BD
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【题目】如图,已知OA⊥OB,∠AOD=∠BOC由此判定OC⊥OD,下面是推理过程,请填空.
解:∵OA⊥OB(已知)
所以_____=90°(________)
因为_____=∠AOD-∠AOC,____=∠BOC-∠AOC,∠AOD=∠BOC,
所以______=_____(等量代换)
所以______=90°
所以OC⊥OD.
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【题目】已知∠AOB是一个直角,作射线OC,再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD,OE.
(1) 如图1,当∠BOC=70°时,求∠DOE的度数.
(2) 如图2,当射线OC在∠AOB内绕点O旋转时,∠DOE的大小是否发生变化?说明理由.
(3) 当射线OC在∠AOB外绕点O旋转且∠AOC为钝角时,画出图形,直接写出相应的∠DOE的度数.(不必写出过程)
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【题目】如图,已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O,过点A作AG⊥BD分别交BD、BC于点G、E.
(1)求证:BE2=EGEA;
(2)连接CG,若BE=CE,求证:∠ECG=∠EAC.
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【题目】甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行,甲骑自行车从A地到B地,乙驾车从B地到A地,他们分别以不同的速度匀速行驶,已知甲先出发6分钟后,乙才出发,在整个过程中,甲、乙两人的距离y(千米)与甲出发的时间x(分)之间的关系如图所示,当乙到达终点A时,甲还需分钟到达终点B.
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