Question

3．如图，己知矩形ABCD中，点E是BC边上的一动点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，CH⊥BD于点H．
（1）求证：CH=EF+EG；
（2）若∠BAC=60°，AB=10，BE：EC=3：2．求四边形EFOG的周长．

Answer 1

分析 （1）连接OE，由矩形的性质得出OB=OC，由△BOC的面积=$\frac{1}{2}$OB×CH，△BOC的面积=△BOE的面积+△COE的面积=$\frac{1}{2}$OB（EF+EG），即可得出结论；
（2）证明△AOB是等边三角形，得出∠ABO=60°，OA=OB=AB=10，求出AC=2OA=20，BC=$\sqrt{3}$AB=10$\sqrt{3}$，由已知条件得出BE=6$\sqrt{3}$，EC=4$\sqrt{3}$，由直角三角形的性质求出EF=$\frac{1}{2}$BE=3$\sqrt{3}$，BF=$\sqrt{3}$EF=9，同理：EG=$\frac{1}{2}$EC=2$\sqrt{3}$，CG=$\sqrt{3}$EG=6，再求出OF、OG，即可得出结果．

解答 （1）证明：连接OE，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OB=OC，
∵△BOC的面积=$\frac{1}{2}$OB×CH，△BOC的面积=△BOE的面积+△COE的面积=$\frac{1}{2}$OB×CH+$\frac{1}{2}$OC×EG=$\frac{1}{2}$OB（EF+EG），
∴CH=EF+EG；
（2）解：∵∠BAC=60°，OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABO=60°，OA=OB=AB=10，
∴AC=2OA=20，BC=$\sqrt{3}$AB=10$\sqrt{3}$，
∵BE：EC=3：2，
∴BE=6$\sqrt{3}$，EC=4$\sqrt{3}$，
∵∠OBC=90°-60°=30°，
∴EF=$\frac{1}{2}$BE=3$\sqrt{3}$，BF=$\sqrt{3}$EF=9，
同理：EG=$\frac{1}{2}$EC=2$\sqrt{3}$，CG=$\sqrt{3}$EG=6，
∵OB=OC=10，
∴OF=10-9=1，OG=10-6=4，
∴四边形EFOG的周长=1+4+4$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$=5+5$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形面积的计算方法；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题（2）的关键．