Question

【题目】如图，已知∠AOM=60°，在射线OM上有点B，使得AB与OB的长度都是整数，由此称B是“和谐点”，若OA=8，当B为“和谐点”时，AB和OB的长分别为_____________.

Answer 1

【答案】或或或．（AB=x,OB=y)

【解析】试题解析：过点B作BC⊥OA，交OA于点C，连接AB，可能有两种情况，垂足在OA上或者垂足在OA延长线上．

设OB=y，AB=x，

∵∠AOM=60°，

∴OC=OBcos60°=y，

∴AC=OA-OC=8-y或AC=OC-OA=y -8，

∵BC2=OB2-OC2，BC2=AB2-AC2，

∴y2-（y）2=x2-（8-y）2或x2-（y -8）2=y2-（y）2，

∴x2-（y-4）2=48，

∵x与y是正整数，且y必为正整数，x-4为大于等于-4的整数，

将原方程转为 X2-Y2=48，先求（X+Y）（X-Y）=48的正整数解，

∵（X+Y）和（X-Y）同奇同偶，

∴（X+Y）和（X-Y）同为偶数；

∴X2-Y2=48可能有几组正整数解：

， ， ，

解得： ， ， ，

∴x的可能值有3个：x=7，x=8或x=13，

当x=7时，y-4=±1，y=3或y=5；

当x=8时，y-4=±4，y=8或y=0（舍去）；

当x=13时，y-4=±11，y=15或y=-7（舍去）；

∴共有4组解： 或或或．