Question

3．已知：如图，等边三角形△ABC，O为AC边的中点，将△ABC绕点O顺时针旋转α角（0°＜α＜90°）到△A′B′C′的位置，连接AB′，BC′．
（1）求证：AB′=BC′；
（2）当α=60°时，直接写出四边形AC′BB′为何特殊的四边形．

Answer 1

分析 （1）连接B'O，BO，根据旋转的性质以及等边三角形的性质，即可判定△AOB'≌△C'OB（SAS），进而得到AB′=BC′；
（2）连接BB'，AC'，根据A'B'∥BC，AB′=BC′，即可判定四边形AC′BB′是平行四边形，再根据AB=B'C'，即可得到四边形AC′BB′是矩形．

解答 解：（1）如图，连接B'O，BO，
由旋转可得，B'O=BO，AO=A'O，C'O=CO，
∵O为AC边的中点，
∴AO=C'O，
∵△ABC、△A'B'C'都是等边三角形，
∴B'O⊥A'C'，BO⊥AC，
∴∠AOB=∠C'OB'，
∴∠AOB'=∠C'OB，
在△AOB'和△C'OB中，
$\left\{\begin{array}{l}{B'O=BO}\\{∠AOB'=∠C'OB}\\{AO=C'O}\end{array}\right.$，
∴△AOB'≌△C'OB（SAS），
∴AB′=BC′；

（2）四边形AC′BB′是矩形．
理由：如图，连接BB'，AC'，
当α=60°时，∠AOA'=60°=∠A'，
∴∠OAA'=60°，
∵∠C=60°，
∴∠C=∠A'AO，
∴A'B'∥BC，
又∵AB′=BC′，
∴四边形AC′BB′是平行四边形，
又∵AB=B'C'，
∴四边形AC′BB′是矩形．

点评 本题主要考查了旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．