Question

如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，若DA=10km，CB=15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等．
（1）求E应建在距A多远处？
（2）DE和EC垂直吗？试说明理由．

Answer 1

分析：（1）AE=x，则BE=25-x，=根据勾股定理可得DE²=AD²+AE²=10²+x²，CE²=BC²+BE²=15²+（25-x）²，由DE=CE可得10²+x²=15²+（25-x）²，再解方程即可；
（2）首先证明Rt△AED≌Rt△BCE，根据全等三角形的性质可得∠AED=∠C，再证明∠AED+∠BEC=90°，即可得到∠DEC=90°，进而得到DE和EC垂直．

解答：解：（1）设AE=x，则BE=25-x，
在Rt△ADE中，
DE²=AD²+AE²=10²+x²，
在Rt△BCE中，
CE²=BC²+BE²=15²+（25-x）²，
由题意可知：DE=CE，
所以：10²+x²=15²+（25-x）²，
解得：x=15．
所以E应建在距A点15km处；

（2）垂直，
∵在Rt△AED和Rt△BCE中

DE=EC AE=CB=15

，
∴Rt△AED≌Rt△BCE（HL），
∴∠AED=∠C，
∵CB⊥AB，
∴∠B=90°，
∴∠C+∠BEC=90°，
∴∠AED+∠BEC=90°，
∴∠DEC=180°-90°=90°，
∴DE⊥CE．

点评：此题主要考查了勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，关键是掌握勾股定理，表示出DE²和CE²．用方程思想计算出AE的长．