Question

【题目】如图，已知过点B（1，0）的直线l1与直线l2：y＝2x+4相交于点P（﹣1，a），l1与y轴交于点C，l2与x轴交于点A．

（1）求a的值及直线l1的解析式．

（2）求四边形PAOC的面积．

（3）在x轴上方有一动直线平行于x轴，分别与l1，l2交于点M，N，且点M在点N的右侧，x轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）a=2，y=﹣x+1；（2）四边形PAOC的面积为；（3）点Q的坐标为或或（﹣，0）．

【解析】

（1）将点P的坐标代入直线l2解析式，即可得出a的值，然后将点B和点P的坐标代入直线l1的解析式即可得解；

（2）作PE⊥OA于点E，作PF⊥y轴，然后由△PAB和△OBC的面积即可得出四边形PAOC的面积；

（3）分类讨论：①当MN=NQ时，②当MN=MQ时，③当MQ=NQ时，分别根据等腰直角三角形的性质，结合坐标即可得解.

（1）∵y=2x+4过点P（﹣1，a），

∴a=2，

∵直线l1过点B（1，0）和点P（﹣1，2），

设线段BP所表示的函数表达式y=kx+b并解得：

函数的表达式y=﹣x+1；

（2）过点P作PE⊥OA于点E，作PF⊥y轴交y轴于点F，

由（1）知，AB=3，PE=2，OB=1，点C在直线l1上，

∴点C坐标为（0,1），

∴OC=1

则；

（3）存在，理由如下：

假设存在，如图，设M（1﹣a，a），点N，

①当MN=NQ时，

∴

∴，

②当MN=MQ时，

∴

∴，

③当MQ=NQ时，，

∴，

∴．

综上，点Q的坐标为：或或（﹣，0）.