Question

【题目】抛物线y＝x2﹣3mx+2m+1与x轴正半轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴正半轴交于点C，且OA＝OC．

（1）抛物线的解析式为　 　（直接写出结果）；

（2）如图1，D为y轴上一点，过点D的直线y＝x+n交抛物线于E，F，若EF＝5，求点D的坐标；

（3）将△AOC绕平面内某点逆时针旋转90°至△A'O'C'（点A，C，O的对应点分别为A'，C'，O'），若旋转后的△A'O'C'恰好有一边的两个端点落在抛物线上，请求出点A'的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x+2；（2）点D的坐标为：（0，）；（3） 点A′的坐标为：（6，2）或（4，2）．

【解析】

（1）点C（0，2m+1），OA＝OC，则点A（2m+1），将点A的坐标代入抛物线的表达式，即可求解；

（2）联立①与直线EF的表达式并整理得：x2﹣8x+8﹣4n＝0，则a+b＝8，ab＝8﹣4n，设直线EF的倾斜角为α，则tan，则cosα＝，则b﹣a＝＝2，即可求解；

（3）分A′C′在抛物线上、O′C′在抛物线上两种情况，分别求解即可．

解：（1）点C（0，2m+1），OA＝OC，则点A（2m+1，0)

将点A的坐标代入抛物线的表达式并解得：m＝，

故抛物线的表达式为：y＝（x2﹣6x+8）＝x2﹣x+2…①，

故答案为：y＝x2﹣x+2；

（2）由抛物线的表达式知，点A、C的坐标分别为：（2，0）、（0，2），

则点D（0，n），设点E、F的纵坐标为：a，b，

联立①与直线EF的表达式并整理得：x2﹣8x+8﹣4n＝0，

则a+b＝8，ab＝8﹣4n，

设直线EF的倾斜角为α，则tan，则cosα＝，

则b﹣a＝＝2，

（b﹣a）2＝（a+b）2﹣4ab＝64﹣4（8﹣4n）＝（2）2，解得：n＝，

故点D的坐标为：（0，）；

（3）将△AOC绕平面内某点逆时针旋转90°至△A'O'C'（点A，C，O的对应点分别为A'，C'，O'），

若旋转后的△A'O'C'恰好有一边的两个端点落在抛物线上，如图所示，

①当A′C′在抛物线上时（左侧图），

设点A′（x，y），则点C′（x﹣2，y﹣2），

将点A′、C′的坐标代入抛物线表达式得：

y＝（x2﹣6x+8），y﹣2＝ [（x﹣2）2﹣6（x﹣2）+8）]，

解得：x＝6，y＝2，故点A′（6，2）；

①当O′C′在抛物线上时（右侧图），A与C’重合，

由图象及旋转可得：OC=AB=2,OA=A’B=2

∴点A′（4，2）；

综上，点A′的坐标为：（6，2）或（4，2）．