Question

11．如图，等腰直角△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AD平分∠BAC交BC于D，过D作DE⊥AD交AB于E，垂足为D，过B作BF⊥AB交AD的延长线于F，垂足为B，连EF交BD于M．
（1）求证：AE=2BD；
（2）求证：MF²=DM•BF；
（3）若CD=$\sqrt{2}$，则S_△BEF=2$\sqrt{2}$-2．

Answer 1

分析 （1）如图1中，取AE的中点F，连接DF，只要证明DF=DB，AE=2DF即可．
（2）先证明B、E、D、F四点共圆，再证明FD=FM，BD=BF，利用△DFM∽△DBF即可解决问题．
（3）如图2中，作DG∥AB交AC于G，先求出AG、GD、BD、BF，利用△ACD∽△FBE求出EB即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，取AE的中点F，连接DF，
∵∠C=90°，CA=CB，
∴∠CAB=∠B=45°，∵AD平分∠CAB，
∴∠DAB=$\frac{1}{2}$∠CAB=22.5°，
∵DE⊥AD，
∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA=22.5°，
∴∠DFB=45°=∠B，
∴BD=DF=$\frac{1}{2}$AE，
∴AE=2BD；
（2）证明：如图2中，∵BF⊥AB，AD⊥DE，
∴∠EBF=∠EDF=90°，
∴∠EBF+∠EDF=180°，
∴B、E、D、F四点共圆，
∴∠AFE=∠DBE=45°，∵∠BDF=∠ADC=67.5°，
∴∠DMF=180°-∠BDF-∠DFM=67.5°，
∴∠FDM=∠FMD，
∴FD=FM，
∵∠DFM=∠FBD=45°，∠FDM=∠BDF，
∴△DFM∽△DBF，
∴$\frac{DF}{DB}=\frac{DM}{DF}$，∠DMF=∠BFD=67.5°，
∴DF²=DB•DM，∠BDF=∠BFD，
∴BD=BF，
∴FM²=DM•BF．
（3）解：如图2中，作DG∥AB交AC于G．
∵∠CGD=∠A=∠CDG=∠CBA=45°，CD=$\sqrt{2}$，
∴DG=CD=2，AAC=BC=2+$\sqrt{2}$，BD=BF=2，
∵∠FEB=∠BDF=∠ADC，∠C=∠EBF=90°，
∴△ACD∽△FBE，
∴$\frac{AC}{BF}$=$\frac{CD}{EB}$，∴EB=2$\sqrt{2}$-2，
∴S_△EBF=$\frac{1}{2}$•BE•BF=$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{2}$-2）•2=2$\sqrt{2}$-2，
故答案为2$\sqrt{2}$-2．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边中线性质、四点共圆等知识，解题的关键是添加辅助线，学会构造直角三角形利用斜边中线性质解决问题，学会构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．