分析 (1)如图1中,取AE的中点F,连接DF,只要证明DF=DB,AE=2DF即可.
(2)先证明B、E、D、F四点共圆,再证明FD=FM,BD=BF,利用△DFM∽△DBF即可解决问题.
(3)如图2中,作DG∥AB交AC于G,先求出AG、GD、BD、BF,利用△ACD∽△FBE求出EB即可解决问题.
解答 (1)证明:如图1中,取AE的中点F,连接DF,
∵∠C=90°,CA=CB,
∴∠CAB=∠B=45°,∵AD平分∠CAB,
∴∠DAB=$\frac{1}{2}$∠CAB=22.5°,
∵DE⊥AD,
∴AF=DF,∴∠FAD=∠FDA=22.5°,
∴∠DFB=45°=∠B,
∴BD=DF=$\frac{1}{2}$AE,
∴AE=2BD;
(2)证明:如图2中,∵BF⊥AB,AD⊥DE,
∴∠EBF=∠EDF=90°,
∴∠EBF+∠EDF=180°,
∴B、E、D、F四点共圆,
∴∠AFE=∠DBE=45°,∵∠BDF=∠ADC=67.5°,
∴∠DMF=180°-∠BDF-∠DFM=67.5°,
∴∠FDM=∠FMD,
∴FD=FM,
∵∠DFM=∠FBD=45°,∠FDM=∠BDF,
∴△DFM∽△DBF,
∴$\frac{DF}{DB}=\frac{DM}{DF}$,∠DMF=∠BFD=67.5°,
∴DF2=DB•DM,∠BDF=∠BFD,
∴BD=BF,
∴FM2=DM•BF.
(3)解:如图2中,作DG∥AB交AC于G.
∵∠CGD=∠A=∠CDG=∠CBA=45°,CD=$\sqrt{2}$,
∴DG=CD=2,AAC=BC=2+$\sqrt{2}$,BD=BF=2,
∵∠FEB=∠BDF=∠ADC,∠C=∠EBF=90°,
∴△ACD∽△FBE,
∴$\frac{AC}{BF}$=$\frac{CD}{EB}$,∴EB=2$\sqrt{2}$-2,
∴S△EBF=$\frac{1}{2}$•BE•BF=$\frac{1}{2}$(2$\sqrt{2}$-2)•2=2$\sqrt{2}$-2,
故答案为2$\sqrt{2}$-2.
点评 本题考查相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边中线性质、四点共圆等知识,解题的关键是添加辅助线,学会构造直角三角形利用斜边中线性质解决问题,学会构造相似三角形解决问题,属于中考常考题型.
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