Question

【题目】如图，直线y＝2x﹣8分别交x轴、y轴于点A、点B，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A，且顶点Q在直线AB上．

（1）求a，b的值．

（2）点P是第四象限内抛物线上的点，连结OP、AP、BP，设点P的横坐标为t，△OAP的面积为s1，△OBP的面积为s2，记s＝s1+s2，试求s的最值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当t＝3时，s取得最大值，最大值为18．

【解析】

(1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，由二次函数的对称性可得出抛物线的对称轴为直线x＝2，利于一次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线的顶点Q的坐标，由点A，P的坐标，利用待定系数法即可求出a，b的值；

（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点P的坐标，利用三角形的面积公式可找出s1，s2，进而可得出s关于t的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．

解：（1）∵直线y＝2x﹣8分别交x轴、y轴于点A、点B，

∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，﹣8）．

∵抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A，点O，

∴抛物线的对称轴为直线x＝2．

当x＝2时，y＝2x﹣8＝﹣4，

∴抛物线顶点Q的坐标为（2，﹣4）．

将A（4，0），Q（2，﹣4）代入y＝ax2+bx，得：

，解得：．

（2）由（1）得：抛物线解析式为y＝x2﹣4x，

∵点P的横坐标为t，

∴点P的坐标为（t，t2﹣4t），

∴s1＝×4×（4t﹣t2）＝8t﹣2t2，s2＝×8×t＝4t，

∴s＝s1+s2＝﹣2t2+12t＝﹣2（t﹣3）2+18．

∵﹣2＜0，且0＜t＜4，

∴当t＝3时，s取得最大值，最大值为18．