【题目】如图1,在等边△ABC中,AB=6cm,动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动,动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动,当点P到达点B时,点P、Q同时停止运动.设运动时间为t(s),过点P作PE⊥AC于E,PQ交AC边于D,线段BC的中点为M,连接PM.
(1)当t为何值时,△CDQ与△MPQ相似;
(2)在点P、Q运动过程中,点D、E也随之运动,线段DE的长度是否会发生变化?若发生变化,请说明理由,若不发生变化,求DE的长;
(3)如图2,将△BPM沿直线PM翻折,得△B'PM,连接AB',当t为何值时,AB'的值最小?并求出最小值.
【答案】(1)t=3时,△PMQ∽△DCQ;(2)不变化.DE=3cm;(3)t为9﹣3时,AB'的值最小,最小值为3﹣3.
【解析】
(1)根据等边三角形的性质可得∠B=∠C=60°,然后判断出相似三角形的对应关系可得PM∥DC,即可得出P是AB的中点,从而求出结论;
(2)P是AB的中点,根据等边三角形的性质和判定证出△APK是等边三角形,利用AAS证出△PKD≌△QCD,从而证出DK=DC,即可求出结论;
(3)连接AM,易知当A,B',M在一条直线上时,AB'最小,利用三线合一和勾股定理求出∠BAM和AM,即可求出AB'的最小值,由折叠知,BP=B'P,∠PB'M=∠B=60°,最后根据AB'=B'P即可求出结论.
解:(1)∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠C=60°,
∴∠DBQ=120°,
∵∠BQP=∠CQD,∠PMQ>90°,
∴只有当∠PMQ=∠DCQ=120°时,△PMQ∽△DCQ,
则PM∥DC,
∵M是BC的中点,
∴P是AB的中点,
即AP=3=t,
∴t=3时,△PMQ∽△DCQ;
(2)不变化.理由如下:
如图1中,作PK∥BC交AC于K.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠A=60°,
∵PK∥BC,
∴∠APK=∠B=60°,
∴△APK是等边三角形,
∴PA=PK,
∵PE⊥AK,
∴AE=EK,
∵AP=CQ=PK,∠PKD=∠DCQ,∠PDK=∠QDC,
∴△PKD≌△QCD(AAS),
∴DK=DC,
∴DE=EK+DK=(AK+CK)=AC=3cm;
(3)如图2中,连接AM,
则AB'≥AM﹣MB',
而MB'=MB,
∴当A,B',M在一条直线上时,AB'最小,
即:点B'在AM上,(如图3)
∵BM=CM=3,AB=AC=6,
∴AM⊥BC,
∴∠BAM=∠BAC=30°,,
∵B'M=BM=3,
∴AB'的最小值为AM﹣B'M=,
由折叠知,BP=B'P,∠PB'M=∠B=60°,
∴∠APB'=∠PB'M﹣∠BAC=30°=∠BAM,
∴AB'=B'P=6﹣t=3﹣3,
∴t=9﹣3,
即:t为9﹣3时,AB'的值最小,最小值为3﹣3.
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【题目】综合与实践
正方形内“奇妙点”及性质探究
定义:如图1,在正方形中,以为直径作半圆,以为圆心,为半径作,与半圆交于点.我们称点为正方形的一个“奇妙点”.过奇妙点的多条线段与正方形无论是位置关系还是数量关系,都具有不少优美的性质值得探究.
性质探究:如图2,连接并延长交于点,则为半圆的切线.
证明:连接.
由作图可知,,
又.
,∴是半圆的切线.
问题解决:
(1)如图3,在图2的基础上,连接.请判断和的数量关系,并说明理由;
(2)在(1)的条件下,请直接写出线段之间的数量关系;
(3)如图4,已知点为正方形的一个“奇妙点”,点为的中点,连接并延长交于点,连接并延长交于点,请写出和的数量关系,并说明理由;
(4)如图5,已知点为正方形的四个“奇妙点”.连接,恰好得到一个特殊的“赵爽弦图”.请根据图形,探究并直接写出一个不全等的几何图形面积之间的数量关系.
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【题目】《孙子算经)是我国传统数学的重要著作之一,其中记载的“荡杯问题”非常有趣.原题是今有妇人河上荡杯,津吏问日:“杯何以多?”妇人日:“有客.”津吏日:“客几何?”妇人日:“两人共饭,三人共羹,四人共肉,凡用杯六十五.不知客几何?”
大意:一个妇女在河边洗碗,河官问:“洗多少碗?有多少客?”妇女答:“洗只碗,客人二人.共用一只饭碗,三人共用一只汤碗,四人共用一只肉碗.问:有多少客人用餐?”请解答上述问题.
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【题目】“端午节”是我国的传统佳节,民间历来有吃“粽子”的习俗.我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽(以下分别用A、B、C、D表示)这四种不同口味粽子的喜爱情况,在节前对某居民区市民进行了抽样调查,并将调查情况绘制成如下两幅统计图(尚不完整).
请根据以上信息回答:
(1)本次参加抽样调查的居民有多少人?
(2)将两幅不完整的图补充完整;
(3)若居民区有8000人,请估计爱吃D粽的人数;
(4)若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个,煮熟后,小王吃了两个.用列表或画树状图的方法,求他第二个吃到的恰好是C粽的概率.
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【题目】在直角坐标系xOy中,对于点P(x,y)和Q(x,y′),给出如下定义:若y′=,则称点Q为点P的“可控变点”.请问:若点P在函数y=﹣x2+16(﹣5≤x≤a)的图象上,其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16≤y′≤16,则实数a的值是____.
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【题目】已知正方形ABCD的边长为5,E在BC边上运动,DE的中点G,EG绕E顺时针旋转90°得EF,问CE为多少时A、C、F在一条直线上( )
A. B. C. D.
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【题目】某校团委为了教育学生,开展了以感恩为主题的有奖征文活动,并为获奖的同学颁发奖品.小红与小明去文化商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品,若买甲种笔记本20个,乙种笔记本10个,共用110元;且买甲种笔记本30个比买乙种笔记本20个少花10元.
(1)求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元?
(2)若本次购进甲种笔记本的数量比乙种笔记本的数量的2倍还少10个,且购进两种笔记本的总数量不少于80本,总金额不超过320元.请你设计出本次购进甲、乙两种笔记本的所有方案.
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【题目】某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租,每辆货车的日租金实行淡季、旺季两种价格标准,旺季每辆货车的日租金比淡季上涨.据统计,淡季该公司平均每天有辆货车未出租,日租金总收入为元;旺季所有的货车每天能全部租出,日租金总收入为元.
(1)该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆?淡季每辆货车的日租金多少元?
(2)经市场调查发现,在旺季如果每辆货车的日租金每上涨元,每天租出去的货车就会减少辆,不考虑其它因素,每辆货车的日租金上涨多少元时,该出租公司的日租金总收入最高?
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