Question

【题目】如图1，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动，动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t（s），过点P作PE⊥AC于E，PQ交AC边于D，线段BC的中点为M，连接PM．

（1）当t为何值时，△CDQ与△MPQ相似；

（2）在点P、Q运动过程中，点D、E也随之运动，线段DE的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由，若不发生变化，求DE的长；

（3）如图2，将△BPM沿直线PM翻折，得△B'PM，连接AB'，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．

Answer 1

【答案】（1）t＝3时，△PMQ∽△DCQ；（2）不变化．DE＝3cm；（3）t为9﹣3时，AB'的值最小，最小值为3﹣3．

【解析】

（1）根据等边三角形的性质可得∠B＝∠C＝60°，然后判断出相似三角形的对应关系可得PM∥DC，即可得出P是AB的中点，从而求出结论；

（2）P是AB的中点，根据等边三角形的性质和判定证出△APK是等边三角形，利用AAS证出△PKD≌△QCD，从而证出DK＝DC，即可求出结论；

（3）连接AM，易知当A，B'，M在一条直线上时，AB'最小，利用三线合一和勾股定理求出∠BAM和AM，即可求出AB'的最小值，由折叠知，BP＝B'P，∠PB'M＝∠B＝60°，最后根据AB'＝B'P即可求出结论．

解：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝∠C＝60°，

∴∠DBQ＝120°，

∵∠BQP＝∠CQD，∠PMQ＞90°，

∴只有当∠PMQ＝∠DCQ＝120°时，△PMQ∽△DCQ，

则PM∥DC，

∵M是BC的中点，

∴P是AB的中点，

即AP＝3＝t，

∴t＝3时，△PMQ∽△DCQ；

（2）不变化．理由如下：

如图1中，作PK∥BC交AC于K．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝∠A＝60°，

∵PK∥BC，

∴∠APK＝∠B＝60°，

∴△APK是等边三角形，

∴PA＝PK，

∵PE⊥AK，

∴AE＝EK，

∵AP＝CQ＝PK，∠PKD＝∠DCQ，∠PDK＝∠QDC，

∴△PKD≌△QCD（AAS），

∴DK＝DC，

∴DE＝EK+DK＝（AK+CK）＝AC＝3cm；

（3）如图2中，连接AM，

则AB'≥AM﹣MB'，

而MB'＝MB，

∴当A，B'，M在一条直线上时，AB'最小，

即：点B'在AM上，（如图3）

∵BM＝CM＝3，AB＝AC＝6，

∴AM⊥BC，

∴∠BAM＝∠BAC＝30°，，

∵B'M＝BM＝3，

∴AB'的最小值为AM﹣B'M＝，

由折叠知，BP＝B'P，∠PB'M＝∠B＝60°，

∴∠APB'＝∠PB'M﹣∠BAC＝30°＝∠BAM，

∴AB'＝B'P＝6﹣t＝3﹣3，

∴t＝9﹣3，

即：t为9﹣3时，AB'的值最小，最小值为3﹣3．