Question

如图，在矩形ABCD中，AB=18cm，BC=6cm，点P沿AB、BC边从点A→B→C方向以3cm/秒的速度移动，点Q沿DA、AB边从点D→A→B方向以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示运动时间．
（1）若t=1时，求△APQ的面积；
（2）当P在AB边上移动时，在△APQ中，若满足∠PQA＞45°，求t的范围；
（3）若0≤t≤8，线段PQ和矩形两边所构成的三角形与△ABC何时能相似？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据t=1表示出DQ和AP的长，利用三角形的面积计算方法求得三角形的面积即可；
（2）表示出QA和AP，根据∠PAQ=45°，得到QA＜AP，从而得到有关t的方程，求解即可；
（3）根据△PAQ与△ABC相似，分①

PA

QA

=

AB

CB

、②

QA

PA

=

AB

CB

和③

AQ

CP

=

AB

CB

三种情况求得t值即可．

解答：解：（1）当t=1秒时，DQ=t=1cm，AP=3t=3
∴S△APQ=

1

2

AQ×AP=

1

2

（6-1）×3=

15

2

（2）由已知，点Q、P同时出发，且分别到达A、B两点的时间均为6秒，
∵QA=6-t，AP=3t，
∴当点P在AB上移动时，Q在DA上移动，
要满足∠PAQ=45°，必有：QA＜AP
即6-t＜3t
解之，t＜1.5
∴1.5＜t＜6；

（3）当0＜t＜6时，点P、Q分别在BC和AB上，要使△PAQ与△ABC相似，
必①

PA

QA

=

AB

CB

，即

3t

6-t

=

18

6

，解之t=3秒
②

QA

PA

=

AB

CB

，即

6-t

3t

=

18

6

，解之t=0.6秒
当6＜t＜8时，点P、Q分别在BC和AB上，要使△PBQ与△ABC相似，
必

AQ

CP

=

AB

CB

，即

t-6

24-3t

=

18

6

，解之t=7.8秒，
综上所述，当≤t≤8时，且点P，Q同时移动时t=3或0.6或7.8秒．

点评：本题考查了相似三角形的综合应用，特别是本题中涉及到的动点问题和分类讨论问题，更是近几年中考的热点和难度考题，应加强训练．