Question

在直角△ABC中，AD是斜边上的高，角平分线CE交AD于O，过O引OF∥CB交AB于F．求证：AE=BF．

Answer 1

分析：过E点作EH⊥BC于H点，由于直角△ABC中，AD是斜边上的高，CE平分∠ACB，根据等角的余角相等得到∠B=∠DAC，根据角平分线的定义得到∠ACE=∠BCE，利用三角形外角性质得
∠AEO=∠B+∠BCE，∠AOE=∠OAD+∠ACO，则∠AEO=∠AOE，所以OA=AE，又因为OF∥BC，∠AFO=∠B，∠AOF=90°，然后根据角平分线定理得到EA=EH，则OA=EH，再根据全等三角形的判定方法得到Rt△AFO≌Rt△RBH，则AF=BE，即可得到结论．

解答：证明：过E点作EH⊥BC于H点，如图，
∵∠AEO=∠B+∠BCE，∠AOE=∠OAC+∠ACO，
而直角△ABC中，AD是斜边上的高，CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，∠B=∠DAC，
∴∠AEO=∠AOE，
∴OA=AE，
∵OF∥BC，
∴∠AFO=∠B，∠AOF=90°，
又∵CE平分∠ACB，EA⊥AC，EH⊥BC，
∴EA=EH，
∴OA=EH，
在Rt△AFO和Rt△EBH中

∠AFO=∠EBH ∠AOF=∠EHB AO=EH

，
∴Rt△AFO≌Rt△EBH（AAS），
∴AF=BE，
∴AE=BF．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：有两个角和其中一个角所对的边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了角平分线的性质和等腰三角形的判定与性质．