在一次数学活动课上.老师组织大家利用矩形进行图形变换的探究活动．(1)第一小组的同学将矩形纸片ABCD按如下顺序进行操作:对折.展平.得折痕EF,再沿GC折叠.使点B落在EF上的点B′处.请求出∠B′GC的度数．(2)第二小组的同学.在一个矩形纸片上按照图3的方式剪下△ABC.其中BA=BC.将△ABC沿着直线AC的方向依次进行平移变换.每次均移� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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17．在一次数学活动课上，老师组织大家利用矩形进行图形变换的探究活动．
（1）第一小组的同学将矩形纸片ABCD按如下顺序进行操作：对折、展平，得折痕EF（如图1）；再沿GC折叠，使点B落在EF上的点B′处（如图2），请求出∠B′GC的度数．
（2）第二小组的同学，在一个矩形纸片上按照图3的方式剪下△ABC，其中BA=BC，将△ABC沿着直线AC的方向依次进行平移变换，每次均移动AC的长度，得到了△CDE、△EFG和△GHI，如图4．已知AH=AI，AC长为a，现以AD、AF和AH为三边构成一个新三角形，已知这个新三角形面积小于15$\sqrt{15}$，请你帮助该小组求出a可能的最大整数值．

分析（1）根据矩形的性质和折叠的性质得到△BB'C为等边三角形，得到答案；
（2）分别取CE、EG、GI的中点P、Q、R，连接DP、FQ、HR、AD、AF、AH，根据勾股定理的逆定理证明新三角形为直角三角形，根据三角形的面积公式计算即可．

解答解：（1）如图2，连接BB'，由题意得EF垂直平分BC，故BB'=B'C，
由翻折可得，B'C=BC，
∴△BB'C为等边三角形，
∴∠B'CB=60°，
∴∠B'CG=30°，
∴∠B'GC=60°；
（2）如图4，分别取CE、EG、GI的中点P、Q、R，连接DP、FQ、HR、AD、AF、AH，
∵△ABC中，BA=BC，
根据平移变换的性质，△CDE、△EFG和△GHI都是等腰三角形，
∴DP⊥CE，FQ⊥EG，HR⊥GI．
在Rt△AHR中，AH=AI=4a，AH²=HR²+AR²，HR²=$\frac{15}{4}$a²，
则DP²=FQ²=HR²=$\frac{15}{4}$a²，
AD²=AP²+DP²=6a²，AF²=AQ²+FQ²=10a²，
新三角形三边长为4a、$\sqrt{6}$a、$\sqrt{10}$a．
∵AH²=AD²+AF²，
∴新三角形为直角三角形，
其面积为$\frac{1}{2}$$\sqrt{6}$a×$\sqrt{10}$a=$\sqrt{15}$a²．
∵$\sqrt{15}$a²＜15$\sqrt{15}$，
∴a²＜15，
∴a的最大整数值为3．

点评本题考查的是折叠的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的逆定理的应用，掌握矩形的性质、等腰三角形的三线合一是解题的关键．

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