Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AF垂直平分OB，交OB于点E，若AB＝6，则CF的长为_____．

Answer 1

【答案】4

【解析】

由题意可证△ABO是等边三角形，可得∠BAO=60°，∠BAF=∠CAF=30°，由直角三角形的性质和等腰三角形性质可得BC=AB=6，AF=FC，由勾股定理可求FC的长．

解：∵四边形ABCD是矩形

∴AO＝BO＝CO＝DO，∠ABC＝90°

∵AF垂直平分OB，

∴AB＝AO，BE＝EO，AF⊥BO，

∴AB＝AO＝BO，

∴△ABO是等边三角形，

∴∠BAO＝60°，∠BAF＝∠CAF＝30°

∴∠ACB＝90°﹣∠BAO＝30°

∴∠FAC＝∠ACF＝30°，BC＝AB＝6，

∴AF＝FC，

在Rt△ABF中，AF2＝BF2+AB2，

∴CF2＝（6﹣CF）2+36

∴CF＝4.

故答案是：4.