Question

13．△ABC内接于⊙O，已知∠ABC=∠ACB．
（1）如图（1），求证：AO平分∠BAC；
（2）如图（2），点D是弧AC上一点，连接BD交AC于点G，连接CD，弦AE交BD于F、交CD于H，并且AE⊥BD，求证：BD+CD=2BF；
（3）如图（3）在（2）的条件下，BD经过圆心O，连接DE，OG=DH，S_△DEH=9$\sqrt{2}$，求OG的长．

Answer 1

分析 （1）连接BO，OC，由∠ABC=∠ACB得出AB=AC，由SSS证得△AOB≌△AOC，即可得出结论；（2）过A作AM⊥CD交CD延长线于点M，连接AD，证得∠ADM=∠ADB，由AAS证得△ADM≌△ADF，得出DM=DF，再由HL证得Rt△AFB≌Rt△AMC，得出MC=BF=MD+DC，即可得出结论；（3）连OH、AD、OE，设∠OAB=∠OBA=α，则∠AOD=∠BAC=2α，由SAS证得△AOG≌△ODH，得出∠DOH=∠OAC=α，再由SAS证得△DOH≌△EOH，得出DH=HE，证出△AOF、△DFH为等腰直角三角形，由S_△DEH=$\frac{1}{2}$HE•DF=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$DF×DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DF²，求出DF，再由OD=OA=$\sqrt{2}$OF=$\sqrt{2}$（OD-DF），求出OD，即可得出结果．

解答 （1）证明：连接BO，OC，则BO=OC，如图1所示：
∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
在△AOB和△AOC中，$\left\{\begin{array}{l}{BO=OC}\\{AB=AC}\\{AO=AO}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠BAO=∠CAO，
∴AO平分∠BAC；

（2）证明：过A作AM⊥CD交CD延长线于点M，连接AD，如图2所示：
∵∠ADM=∠DAC+∠ACD=∠ABD+∠DBC，
∴∠ADM=∠ABC 
∵∠ACB=∠ADB，∠ACB=∠ABC，
∴∠ADM=∠ADB，
在△ADM和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADM=∠ADF}\\{∠AMD=∠AFD=90°}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△ADF（AAS），
∴DM=DF，AF=AM，
在Rt△AFB和Rt△AMC中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=AM}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴Rt△AFB≌Rt△AMC（HL），
∴MC=BF=MD+DC，
∴BD+CD=BF+DM+CD=2BF；

（3）解：连OH、AD、OE，如图3所示：
 设∠OAB=∠OBA=α，
∴∠AOD=∠BAC=2α
∵∠BDC=∠BAC，
∴∠AOD=∠BDC，
在△AOG和△ODH中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=OD}\\{∠AOG=∠ODH}\\{OG=DH}\end{array}\right.$，
∴△AOG≌△ODH（SAS），
∴∠DOH=∠OAC=α，
∵BD⊥AE，
∴$\widehat{AD}=\widehat{DE}$，
∴∠DOE=∠AOD=2α，
∴∠HOE=∠HOD=α，
在△DOH和△EOH中，$\left\{\begin{array}{l}{OD=OE}\\{∠HOD=∠HOE}\\{OH=OH}\end{array}\right.$，
∴△DOH≌△EOH（SAS），
∴DH=HE，
∴∠HED=∠HDE=α，
∴∠CAE=∠CDE=α
∴∠OAF=2α，
 在Rt△AOF中，∠FAO=∠AOF=2α，
∴∠FAO=∠AOF=45°
∴∠FDH=∠FHD=45°，
∴FD=FH，
在Rt△DFH中，DH=$\sqrt{2}$DF，
∴HE=$\sqrt{2}$DF，
∵S_△DEH=$\frac{1}{2}$HE•DF=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$DF×DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DF²，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$DF²=9$\sqrt{2}$，
∴DF=3$\sqrt{2}$，
∵OD=OA=$\sqrt{2}$OF=$\sqrt{2}$（OD-DF），
即：OD=$\sqrt{2}$OD-6，
∴OD=$\frac{6}{\sqrt{2}-1}$=6（$\sqrt{2}$+1）=6$\sqrt{2}$+6，
∵∠FAC=∠FAD=α，∠AFG=∠AFD=90°，
∴∠AGD=∠ADF，
∴AG=AD，
∴GF=FD=3$\sqrt{2}$，
∴OG=OD-DG=OD-2DF=6$\sqrt{2}$+6-6$\sqrt{2}$=6．

点评 本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积的计算等知识；通过作辅助线构造全等三角形是解决问题的关键