练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．

    （1）判断△ABC的形状，并说明理由；
    （2）如图（1），点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点p作Y轴的平行线交X轴于点E．当△PBC面积的最大值时，点F为线段BC一点（不与点BC重合），连接EF，动点G从点E出发，沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到点F，再沿FC以每秒$\frac{2\sqrt{3}}{3}$个单位的速度运动到点C后停止，当点F的坐标是多少时，点G在整个运动过程中用时最少？
    （3）如图2，将△ACO沿射线CB方向以每秒$\frac{2\sqrt{3}}{3}$个单位的速度平移，记平移后的△ACO 为△A1C1O1连接AA1，直线AA1交抛物线与点M，设平移的时间为t秒，当△AMC1为等腰三角形时，求t的值．

    分析 （1）结论：△ABC是直角三角形．在Rt△AOC中，由tan∠ACO=$\frac{OA}{OC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，推出∠ACO=30°，在Rt△OBC中，由tan∠BCO=$\frac{OB}{OC}$=$\sqrt{3}$，推出∠BCO=60°，可得∠ACB=∠ACO+∠BCO=90°；
    （2）设P（m，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m-$\sqrt{3}$），作射线CN，使得∠BCN=60°，作FH⊥CN于H，FG⊥AE于G，则FH=CF•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CF，首先求出点P坐标，动点G的运动时间=$\frac{EF}{1}$+$\frac{CF}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$=EF+$\frac{\sqrt{3}}{2}$CF=EF+FH，根据垂线段最短可知，当EH⊥CN时，动点G的运动时间最小，由此即可解决问题；
    （3）求出直线AM的解析式，利用方程组求出点M坐标，由题意C′（t，$\frac{\sqrt{3}}{3}$t-$\sqrt{3}$），分三种情形讨论，想办法列出方程即可解决问题；

    解答 解：（1）结论：△ABC是直角三角形．
    理由：如图1中，连接AC．
    ∵抛物线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，
    ∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-$\sqrt{3}$），
    在Rt△AOC中，∵tan∠ACO=$\frac{OA}{OC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
    ∴∠ACO=30°，
    在Rt△OBC中，∵tan∠BCO=$\frac{OB}{OC}$=$\sqrt{3}$，
    ∴∠BCO=60°，
    ∴∠ACB=∠ACO+∠BCO=90°，
    ∴△ABC是直角三角形．

    （2）设P（m，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m-$\sqrt{3}$），作射线CN，使得∠BCN=60°，作FH⊥CN于H，FG⊥AE于G，
    则FH=CF•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CF．
    则S△PBC=S△POC+S△POB-S△BOC
    =$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×m+$\frac{1}{2}$×3×（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m+$\sqrt{3}$）-$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×3
    =-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）2+$\frac{9\sqrt{3}}{8}$，
    ∵-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜0，
    ∴m=$\frac{3}{2}$时，△PBC的面积最大，此时P（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5\sqrt{3}}{4}$），
    ∵动点G的运动时间=$\frac{EF}{1}$+$\frac{CF}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$=EF+$\frac{\sqrt{3}}{2}$CF=EF+FH，
    根据垂线段最短可知，当EH⊥CN时，动点G的运动时间最小，
    ∵∠EFB=∠EBF=30°，
    ∴EF=EB=$\frac{3}{2}$，
    在Rt△EFG中，FG=EF•cos30°=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，EG=$\frac{3}{4}$，OG=$\frac{3}{4}$，
    ∴此时F的坐标为（$\frac{3}{4}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$）．

    （3）由题意直线BC的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$，直线AC的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
    由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=\frac{5\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
    ∴M（4，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$），
    ∵C1（t，$\frac{\sqrt{3}}{3}$t-$\sqrt{3}$），
    ∴AM2=52+（$\frac{5\sqrt{3}}{3}$）2，C1A2=（t+1）2+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$t-$\sqrt{3}$）2，MC1=（4-t）2+（$\frac{5\sqrt{3}}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t+$\sqrt{3}$）2，
    ①当AM=MC1时，52+（$\frac{5\sqrt{3}}{3}$）2=（4-t）2+（$\frac{5\sqrt{3}}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t+$\sqrt{3}$）2，解得t=5+$\sqrt{22}$或5-$\sqrt{22}$，
    ②当C1A=C1M时，（t+1）2+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$t-$\sqrt{3}$）2=（4-t）2+（$\frac{5\sqrt{3}}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t+$\sqrt{3}$）2，解得t=$\frac{5}{2}$
    ③当C1A=AM时，52+（$\frac{5\sqrt{3}}{3}$）2=（t+1）2+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$t-$\sqrt{3}$）2，解得t=$\sqrt{22}$s或-$\sqrt{22}$（舍弃），
    综上所述，满足条件的t的值为（5+$\sqrt{22}$）s或（5-$\sqrt{22}$）s或$\frac{5}{2}$s或$\sqrt{22}$s．

    点评 本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、一次函数的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    16．计算$\sqrt{121×36}$等于（　　）
    A．45B．55C．66D．70

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    14．在Rt△ABC中，a为直角边，c为斜边，且满足$\sqrt{c-5}$+2$\sqrt{10-2c}$=a-4，求这个三角形的周长和面积．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    1．如图，正六边形ABCDEF的边长为6cm，P是对角线BE上一动点，过点P作直线l与BE垂直，动点P从B点出发且以1cm/s的速度匀速平移至E点．设直线l扫过正六边形ABCDEF区域的面积为S（cm2），点P的运动时间为t（s），下列能反映S与t之间函数关系的大致图象是（　　）
    A．B．C．D．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    11．某中学为了解九年级学生体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级，并依据测试成绩绘制了如下两幅尚不完整的统计图；
    （1）这次抽取的学生的人数是50；
    （2）补全条形统计图；
    （3）在扇形统计图中C等级所对应的圆心角为72度；
    （4）该校九年级学生有1500人，请你估计其中A等级的学生人数．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    18．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，m）是第一象限内一点，连接OA，将OA绕点A逆时针旋转90°得到线段AB，若反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象恰好同时经过点A、B，则k的值为2+2$\sqrt{5}$．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    15．抛物线L：y=a（x-x1）（x-x2）（常数a≠0）与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），与y轴交于点C，且x1•x2＜0，AB=4，当直线l：y=-3x+t+2（常数t＞0）同时经过点A，C时，t=1．
    （1）点C的坐标是（0，3）；
    （2）求点A，B的坐标及L的顶点坐标；
    （3）在如图2 所示的平面直角坐标系中，画出L的大致图象；
    （4）将L向右平移t个单位长度，平移后y随x的增大而增大部分的图象记为G，若直线l与G有公共点，直接写出t的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    16．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B在双曲线y=$\frac{k}{x}$（ x＞0）上，BC与x轴交于点D．若点A的坐标为（2，4），则点D的坐标为（　　）
    A．（$\frac{22}{3}$，0）B．（$\frac{15}{2}$，0）C．（$\frac{68}{9}$，0）D．（$\frac{48}{5}$，0）

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案