Question

已知：矩形纸片ABCD中，AB=26厘米，BC=18.5厘米，点E在AD上，且AE=6厘米，点P是AB边上一动点．按如下操作：

步骤一，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕MN（如图1所示）；
步骤二，过点P作PT⊥AB，交MN所在的直线于点Q，连接QE（如图2所示）
（1）无论点P在AB边上任何位置，都有PQ

=

QE（填“＞”、“=”、“＜”号）；
（2）如图3所示，将纸片ABCD放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：
①当点P在A点时，PT与MN交于点Q₁，Q₁点的坐标是（

0

，

3

）；
②当PA=6厘米时，PT与MN交于点Q₂，Q₂点的坐标是（

6

，

6

）；
③当PA=12厘米时，在图4中画出MN，PT（不要求写画法），并求出MN与PT的交点Q₃的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据折叠的性质可得：PQ=QE．
（2）①②问，分别画出图形，可直观的得出Q₁点的坐标、Q₂点的坐标；
③连接EP，作EP的中垂线即得MN，过点P作AB的垂线，可得出PT，过点E作EG⊥Q₃P，垂足为G，则四边形APGE是矩形，证明△Q₃PF∽△PEA，利用对应边成比例可得出Q₃P，继而得出Q₃的坐标．

解答：解：（1）由折叠的性质可得：PQ=QE；

（2）①当点P在A点时，如图①所示：

故可得：Q₁点的坐标是（0，3）；
②如图②所示：

Q₂点的坐标是（6，6）；
③如图所示：

设MN与EP交于点F，
在Rt△APE中，∵PE=

AE2+AP2

=6

5

，
∴PF=

1

2

PE=3

5

，
∵∠Q₃PF+∠EPA=90°，∠AEP+∠EPA=90°，
∴∠Q₃PF=∠AEP．
又∵∠EAP=∠Q₃FP=90°，
∴△Q₃PF∽△PEA，
∴

Q3P

PE

=

PF

EA

，
∴Q₃P=

PF×PE

EA

=15．
∴Q₃（12，15）．

点评：本题考查了一道几何与函数综合题，它以“问题情境--建立模型--解释、应用与拓展”的模式，通过动点P在AB上的移动构造探究性问题，让学生在“操作、观察、猜想、建模、验证”活动过程中，提高动手能力，培养探究精神，发展创新思维．而试题的三个探究问题表现出对试题的求解要求层次分明，体现了“让不同的人学不同的数学”这一基本教学理念．