Question

8．已知二次函数y=-x²+mx+n．
（1）若该二次函数的图象与x轴只有一个交点，请用含m的代数式表示n；
（2）若该二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为（-1，0），AB=4，请求出该二次函数的表达式及顶点坐标．

Answer 1

分析 （1）由二次函数的图象与x轴只有一个交点，所以△=0，由此即可解决问题．
（2）求出点B坐标有两种情形，分别利用方程组解决问题即可．

解答 解：（1）∵二次函数的图象与x轴只有一个交点，
∴△=m²+4n=0，
∴n=-$\frac{1}{4}$m²．
（2）∵A（-1，0），AB=4，
∴B（3，0）或（-5，0）．
将A（-1，0），B（3，0）代入y=-x²+mx+n得$\left\{\begin{array}{l}{-1-m+n=0}\\{-9+3m+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴二次函数为y=-x²+2x+3，顶点为（1，4），
将A（-1，0），B（-5，0）代入y=-x²+mx+n得$\left\{\begin{array}{l}{-1-m+n=0}\\{-25-5m+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-6}\\{n=-5}\end{array}\right.$，
∴二次函数为y=-x²-6x-5，顶点为（-3，4）．

点评 本题考查二次函数与x轴交点问题、待定系数法确定函数解析式等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质，学会分类讨论的思想，不能漏解，属于中考常考题型．