Question

16．已知关于x的一元二次方程mx²-2x-1=0有两个实数根x₁，x₂．
（1）求m的取值范围；
（2）当x₁²+x₂²=-6x₁x₂时，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围；
（2）由根与系数的关系可知x₁+x₂=$\frac{2}{m}$、x₁•x₂=-$\frac{1}{m}$，结合x₁²+x₂²=-6x₁x₂即可得出关于m的分式方程，解之并检验后即可得出结论．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程mx²-2x-1=0有两个实数根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m≠0}\\{△=（-2）^{2}-4m×（-1）≥0}\end{array}\right.$，
解得：m≥-1且m≠0．
∴m的取值范围为m≥-1且m≠0．
（2）∵关于x的一元二次方程mx²-2x-1=0有两个实数根x₁，x₂，
∴x₁+x₂=$\frac{2}{m}$，x₁•x₂=-$\frac{1}{m}$．
∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=-6x₁•x₂，
∴（$\frac{2}{m}$）²+$\frac{2}{m}$=$\frac{6}{m}$，
解得：m=1，
经检验，m=1是分式方程的解．
∵m≥-1且m≠0，
∴m的值为1．

点评 本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解分式方程，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，列出关于m的一元一次不等式组；（2）根据根与系数的关系结合x₁²+x₂²=-6x₁x₂，列出关于m的分式方程．