Question

（2011•郑州模拟）如图所示，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为（3，0），（0，l），点D是线段BC上的动点（与端点B，C不重合），过点D作直线y=-

1

2

x+b交折线OAB于点E．
（1）请写出直线y=-

1

2

x+b中b的取值范围；
（2）若△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；
（3）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为矩形O₁A₁B₁C₁（其中O、A，B、C的对应点分别为O₁、A₁、B₁、C₁），请计算矩形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积为多少？（直接写出答案）

Answer 1

分析：（1）寻找两个极限位置，①点D与点C重合，②点D与点B重合，可得出b的取值范围．
（2）要表示出△ODE的面积，要分两种情况讨论，①如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长（E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点E在AB边上，这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积；
（3）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度，求出计算即可．

解答：解：（1）当点D与点C重合时，直线DE的解析式为y=-

1

2

x+1，此时b=1；
当点D与点B重合时，直线DE的解析式为y=-

1

2

x+

5

2

，此时b=

5

2

；
故可得b的取值范围为：1＜b＜

5

2

；
（2）若直线经过点A（3，0）时，则b=

3

2

，
若直线经过点B（3，1）时，则b=

5

2

，
若直线经过点C（0，1）时，则b=1，
①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤

3

2

，如图1：

此时E（2b，0），
则S=

1

2

OE•CO=

1

2

×2b×1=b；
②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即

3

2

＜b＜

5

2

，如图2：

此时E（3，b-

3

2

），D（2b-2，1），
则S=S_矩-（S_△OCD+S_△OAE+S_△DBE），
=3-[

1

2

（2b-2）×1+

1

2

×（5-2b）•（

5

2

-b）+

1

2

×3（b-

3

2

）]
=

5

2

b-b²，
故S=

b(1＜b≤ 3 2 ) 5 2 b-b2( 3 2 ＜b＜ 5 2 )

．
（3）如图3，

设O₁A₁与CB相交于点M，OA与C₁B₁相交于点N，则矩形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积，
由题意知，DM∥NE，DN∥ME，
则四边形DNEM为平行四边形，
根据轴对称知，∠MED=∠NED，
又∵∠MDE=∠NED，
∴∠MED=∠MDE，
∴MD=ME，
∴平行四边形DNEM为菱形，
过点D作DH⊥OA，垂足为H，设菱形DNEM的边长为a，
由题意知，D（2b-2，1），E（2b，0），
∴DH=1，HE=2b-（2b-2）=2，
∴HN=HE-NE=2-a，
则在Rt△DHN中，由勾股定理知：a²=（2-a）²+1²，
∴a=

5

4

，
∴S_{四边形DNEM}=NE•DH=

5

4

．
即矩形OA₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积为

5

4

．

点评：本题属于一次函数与矩形的结合题，涉及的知识点较多，是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度．