Question

已知抛物线y=-x²+bx+c（c＞0）过点C（-1，0），且与直线y=7-2x只有一个交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线y=-x+3与抛物线相交于两点A、B，则在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）把点C（-1，0）代入y=-x²+bx+c中，得-1-b+c=0，解得c=b+1，
联立，得x²-（b+2）x+6-b=0，
∵抛物线与直线只有一个交点，
∴△=（b+2）²-4（6-b）=0，
解得b=-10或2，
∵c=b+1＞0，∴b=2，
∴抛物线解析式为y=-x²+2x+3；

（2）存在满足题意的点Q．
联立，
解得或，
则A（0，3），B（3，0），
由抛物线y=-x²+2x+3，可知抛物线对称轴为x=1，
由勾股定理，得AB=3，
当AB为腰，∠A为顶角时，Q（1，3+）或（1，3-）；
当AB为腰，∠B为顶角时，Q（1，）或（1，-）；
当AB为底时，Q（1，1）．
故满足题意的Q点坐标为：（1，3+）或（1，3-）或（1，）或（1，-）或（1，1）．
分析：（1）将C点坐标代入y=-x²+bx+c得c=b+1，联立抛物线y=-x²+bx+b+1与直线y=7-2x，转化为关于x的二元一次方程，令△=0求b的值即可；
（2）直线y=-x+3与（1）中抛物线求A、B两点坐标，根据抛物线解析式求对称轴，根据线段AB为等腰三角形的腰或底，分别求Q点的坐标．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据题意求出抛物线解析式，根据等腰三角形的性质，分类求Q点的坐标．