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20.如图,反比例函数y=$\frac{3}{2x}$的图象上有一动点A,连接AO并延长交图象的另一支于点B,在第二象限内有一点C,满足AC=BC,当点A运动时,点C始终在函数y=$\frac{k}{x}$的图象上运动,tan∠CAB=2,则关于x的方程x2-5x+k=0的解为x1=-1,x2=6.

分析 连接OC,过点A作AE⊥x轴于点E,过点C作CF⊥y轴于点F,通过角的计算找出∠AOE=∠COF,结合“∠AEO=90°,∠CFO=90°”可得出△AOE∽△COF,根据相似三角形的性质得出$\frac{AE}{CF}$=$\frac{OE}{OF}$=$\frac{AO}{CO}$,再由tan∠CAB=$\frac{OC}{OA}$=2,可得出CF•OF的值,把k的值代入方程,求出x的值即可.

解答 解:连接OC,过点A作AE⊥y轴于点E,过点C作CF⊥y轴于点F,如图所示,
∵由直线AB与反比例函数y=$\frac{3}{2x}$的对称性可知A、B点关于O点对称,
∴AO=BO.
又∵AC=BC,
∴CO⊥AB.
∵∠AOE+∠AOF=90°,∠AOF+∠COF=90°,
∴∠AOE=∠COF,
又∵∠AEO=90°,∠CFO=90°,
∴△AOE∽△COF,
∴$\frac{AE}{CF}$=$\frac{OE}{OF}$=$\frac{AO}{CO}$,
∵tan∠CAB=$\frac{OC}{OA}$=2,
∴CF=2AE,OF=2OE.
又∵AE•OE=$\frac{3}{2}$,CF•OF=|k|,
∴k=±6.
∵点C在第二象限,
∴k=-6,
∴关于x的方程x2-5x+k=0可化为x2-5x-6=0,解得x1=-1,x2=6.
故答案为:x1=-1,x2=6.

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及相似三角形的判定及性质,解题的关键是求出CF•OF=6.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,巧妙的利用了相似三角形的性质找出对应边的比例,再结合反比例函数图象上点的坐标特征找出结论.

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